Prove que \vec{u}+\vec{v}-\vec{w}, \vec{u}-\vec{v}+\vec{w} e -\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} o forem.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e define três vetores novos:
A tarefa é provar que \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} o são.
Informações relevantes dadas:
Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são quaisquer vetores (em um mesmo espaço vetorial).
Definiram-se explicitamente \vec{p},\vec{q},\vec{r} em termos de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Deve-se provar a equivalência (duas implicações):
(i) se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são independentes então \vec{p},\vec{q},\vec{r} são;
(ii) se \vec{p},\vec{q},\vec{r} são independentes então \vec{u},\vec{v},\vec{w} são.
Passo 2
Definição básica que vamos usar (explicada de forma clara): vetores \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 são linearmente independentes quando a única solução do sistema
é \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Ou seja, não existe combinação linear não-trivial que dê o vetor zero.
Estratégia geral (só a ideia, sem resolver ainda):
Para provar uma das implicações, tomamos uma combinação linear dos vetores do lado que queremos provar independência, escrevemos em termos dos vetores do outro conjunto e usamos a independência desse outro conjunto para forçar coeficientes a zero. Repetimos para a implicação contrária.
Passo 3
Primeira implicação: suponha que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Vamos provar que \vec{p},\vec{q},\vec{r} também são.
Considere uma combinação linear qualquer:
x\vec{p}+y\vec{q}+z\vec{r}=\vec{0},
onde x,y,z são escalares. Substituindo as definições de \vec{p},\vec{q},\vec{r} obtemos:
Resolvendo o sistema acima (passo a passo, sem pular etapas):
Some as duas primeiras equações:
(x+y-z)+(x-y+z)=2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Substitua x=0 na primeira equação: 0+y-z=0\Rightarrow y=z.
Substitua x=0 e y=z na terceira equação: -0+y+z=2y=0\Rightarrow y=0. Então z=0.
Concluímos que x=y=z=0 é a única solução. Portanto não existe combinação linear não-trivial que anule \vec{p},\vec{q},\vec{r}: os vetores \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes. Isso prova a primeira implicação.
Passo 6
Segunda implicação: suponha agora que \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes. Vamos provar que \vec{u},\vec{v},\vec{w} também são.
Primeiro, expressamos \vec{u},\vec{v},\vec{w} em função de \vec{p},\vec{q},\vec{r}. Observe que:
Como \vec{p},\vec{q},\vec{r}\) são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
\[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] a+c=0,\\[4pt] b+c=0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira e segunda equações subtraídas vem (a+c)-(a+b)=c-b=0\Rightarrow c=b\]. Substitindo em \(b+c=0 dá 2b=0\Rightarrow b=0. Então c=0 e a=0. Logo a=b=c=0.
Portanto a única combinação linear que anula \vec{u},\vec{v},\vec{w} é a trivial, e assim \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Isso prova a segunda implicação.]
Passo 9
Conclusão final: mostramos as duas implicações. Logo \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. (Uma observação alternativa, compacta: a transformação linear que leva (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) para (\vec{p},\vec{q},\vec{r}) tem matriz invertível com determinante -4, por isso preserva independência; os passos acima fazem este fato explícito elementarmente.)
Resposta
\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\\ \vec{u}-\vec{v}+\vec{w} e -\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.