Prove que \vec{u}+\vec{v}-\vec{w}, \vec{u}-\vec{v}+\vec{w} e -\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} o forem.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e define três vetores novos:
\vec{p}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\qquad \vec{q}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w},\qquad \vec{r}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
A tarefa é provar que \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} o são.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são quaisquer vetores (em um mesmo espaço vetorial).
  • Definiram-se explicitamente \vec{p},\vec{q},\vec{r} em termos de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Deve-se provar a equivalência (duas implicações):
    (i) se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são independentes então \vec{p},\vec{q},\vec{r} são;
    (ii) se \vec{p},\vec{q},\vec{r} são independentes então \vec{u},\vec{v},\vec{w} são.

Passo 2

Definição básica que vamos usar (explicada de forma clara): vetores \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 são linearmente independentes quando a única solução do sistema
\lambda_1\vec{a}_1+\lambda_2\vec{a}_2+\lambda_3\vec{a}_3=\vec{0}
é \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Ou seja, não existe combinação linear não-trivial que dê o vetor zero.
Estratégia geral (só a ideia, sem resolver ainda):
  • Para provar uma das implicações, tomamos uma combinação linear dos vetores do lado que queremos provar independência, escrevemos em termos dos vetores do outro conjunto e usamos a independência desse outro conjunto para forçar coeficientes a zero. Repetimos para a implicação contrária.

Passo 3

Primeira implicação: suponha que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Vamos provar que \vec{p},\vec{q},\vec{r} também são.
Considere uma combinação linear qualquer:
x\vec{p}+y\vec{q}+z\vec{r}=\vec{0},
onde x,y,z são escalares. Substituindo as definições de \vec{p},\vec{q},\vec{r} obtemos:
x(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})+y(\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})+z(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})=\vec{0}.

Passo 4

Agora recolhemos os coeficientes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Agrupando termos:
(x+y-z)\vec{u} + (x-y+z)\vec{v} + (-x+y+z)\vec{w} = \vec{0}.
Como \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero. Assim obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] x-y+z=0,\\[4pt] -x+y+z=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema acima (passo a passo, sem pular etapas):
  • Some as duas primeiras equações:
(x+y-z)+(x-y+z)=2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Substitua x=0 na primeira equação: 0+y-z=0\Rightarrow y=z.
  • Substitua x=0 e y=z na terceira equação: -0+y+z=2y=0\Rightarrow y=0. Então z=0.
Concluímos que x=y=z=0 é a única solução. Portanto não existe combinação linear não-trivial que anule \vec{p},\vec{q},\vec{r}: os vetores \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes. Isso prova a primeira implicação.

Passo 6

Segunda implicação: suponha agora que \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes. Vamos provar que \vec{u},\vec{v},\vec{w} também são.
Primeiro, expressamos \vec{u},\vec{v},\vec{w} em função de \vec{p},\vec{q},\vec{r}. Observe que:
\vec{p}+\vec{q}=(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})+(\vec{u}-\vec{v}+\vec{w})=2\vec{u},
portanto
\vec{u}=\tfrac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}).
De modo análogo:
\vec{p}+\vec{r}=2\vec{v}\quad\Rightarrow\quad \vec{v}=\tfrac{1}{2}(\vec{p}+\vec{r}),
\vec{q}+\vec{r}=2\vec{w}\quad\Rightarrow\quad \vec{w}=\tfrac{1}{2}(\vec{q}+\vec{r}).

Passo 7

Agora considere uma combinação linear qualquer que anule \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}.
Substitua as expressões em termos de \vec{p},\vec{q},\vec{r}:
a\cdot\tfrac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}) + b\cdot\tfrac{1}{2}(\vec{p}+\vec{r}) + c\cdot\tfrac{1}{2}(\vec{q}+\vec{r})=\vec{0}.
Multiplicando por 2 para simplificar:
(a+b)\vec{p} + (a+c)\vec{q} + (b+c)\vec{r} = \vec{0}.

Passo 8

Como \vec{p},\vec{q},\vec{r}\) são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero: \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] a+c=0,\\[4pt] b+c=0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira e segunda equações subtraídas vem (a+c)-(a+b)=c-b=0\Rightarrow c=b\]. Substitindo em \(b+c=0 2b=0\Rightarrow b=0. Então c=0 e a=0. Logo a=b=c=0.
Portanto a única combinação linear que anula \vec{u},\vec{v},\vec{w} é a trivial, e assim \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Isso prova a segunda implicação.]

Passo 9

Conclusão final: mostramos as duas implicações. Logo \vec{p},\vec{q},\vec{r} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. (Uma observação alternativa, compacta: a transformação linear que leva (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) para (\vec{p},\vec{q},\vec{r}) tem matriz invertível com determinante -4, por isso preserva independência; os passos acima fazem este fato explícito elementarmente.)

Resposta

\vec{u}+\vec{v}-\vec{w},\\ \vec{u}-\vec{v}+\vec{w} e -\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} são linearmente independentes se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.

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