Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de a série converge
(b) absolutamente e (c) condicionalmente?
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
além de dizer para quais ela converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e em seguida examinar os pontos extremos do intervalo.
Passo 2
Identificamos o termo geral
Aplicando o teste da razão, consideramos
A série converge se L<1.
Passo 3
Da condição 2,|x-1|<1 obtemos
|x-1|<12,
logo o raio de convergência é
R = 12
e o intervalo de convergência (aberto) é
l(1-tfrac12,;1+tfrac12r) = l(tfrac12,;tfrac32r)
Passo 4
Agora checamos os extremos:
1. Em x = tfrac32, temos x-1=tfrac12 e
un = (-2)^n(n+1)l(tfrac12r)^n = (-1)^n(n+1)
Como limntoinfty(n+1)neq0, a série diverge.
2. Em x = tfrac12, temos x-1=-tfrac12 e
un = (-2)^n(n+1)l(-tfrac12r)^n = (1)^n(n+1) = n+1,
e limntoinfty(n+1)neq0, logo também diverge.
Passo 5
(b) Convergência absoluta ocorre sempre que |x-1|<tfrac12, pois ali o teste da razão dá L<1.
(c) Não há pontos de convergência condicional, já que nos extremos a série diverge e fora do intervalo |x-1|<tfrac12 ela também diverge.
Resposta
R = tfrac12
Intervalo de convergência: l(tfrac12,tfrac32r)
Converge absolutamente para |x-1|<tfrac12
Não há convergência condicional.