Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge
(b) absolutamente e (c) condicionalmente?
sumn=0^infty(-2)^n(n+1)(x-1)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-2)^n(n+1)(x-1)^n,
além de dizer para quais x ela converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e em seguida examinar os pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Identificamos o termo geral
un = (-2)^n (n+1)(x-1)^n
Aplicando o teste da razão, consideramos
L = limntoinfty|un+1un| = limntoinfty|(-2)^n+1(n+2)(x-1)^n+1(-2)^n(n+1)(x-1)^n| = limntoinfty2(n+2)n+1,l|x-1r| =2,l|x-1r|
A série converge se L<1.

Passo 3

Da condição 2,|x-1|<1 obtemos
|x-1|<12,
logo o raio de convergência é
R = 12
e o intervalo de convergência (aberto) é
l(1-tfrac12,;1+tfrac12r) = l(tfrac12,;tfrac32r)

Passo 4

Agora checamos os extremos:
1. Em x = tfrac32, temos x-1=tfrac12 e
un = (-2)^n(n+1)l(tfrac12r)^n = (-1)^n(n+1)
Como limntoinfty(n+1)neq0, a série diverge.
2. Em x = tfrac12, temos x-1=-tfrac12 e
un = (-2)^n(n+1)l(-tfrac12r)^n = (1)^n(n+1) = n+1,
e limntoinfty(n+1)neq0, logo também diverge.

Passo 5

(b) Convergência absoluta ocorre sempre que |x-1|<tfrac12, pois ali o teste da razão dá L<1.
(c) Não há pontos de convergência condicional, já que nos extremos a série diverge e fora do intervalo |x-1|<tfrac12 ela também diverge.

Resposta

R = tfrac12
Intervalo de convergência: l(tfrac12,tfrac32r)
Converge absolutamente para |x-1|<tfrac12
Não há convergência condicional.

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