Resolver as equações:
4^x+1+4^3-x=257

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial 4^x+1 + 4^3-x = 257. O conteúdo aqui é equações exponenciais e vamos precisar usar propriedades de potências e uma substituição para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Reescrevemos as potências em função de 4^x:
4^x+1 = 4 cdot 4^x
4^3-x = 4^3 cdot 4^-x = 64 cdot 14^x
Em seguida, fazemos a substituição t = 4^x, com t>0.

Passo 3

Após a substituição, a equação fica:
4t + 64t = 257
Multiplicando ambos os lados por t obtemos uma quadrática:
4t^2 - 257t + 64 = 0
Aplicamos a fórmula de Bhaskara calculando o discriminante:

Passo 4

Calculamos
De
Logo,
t = 257 pm 2552cdot 4 = 257 pm 2558
Isso dá t1 = 64 e t2 = tfrac14.

Passo 5

Agora voltamos à variável original: se 4^x = t1 = 64, então x = 3. Se 4^x = t2 = tfrac14, então x = -1.

Resposta

As soluções são x = 3 e x = -1.

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