Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado pede: “encontre uma parametrização da reta tangente” à curva vetorial dada no ponto
.
Informações fornecidas:
- A curva vetorial é
. - O ponto de tangência corresponde a
.
O que precisamos devolver: uma parametrização da reta tangente em torno desse ponto (ou seja, uma função vetorial que descreve a reta que toca a curva em
).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): a reta tangente a uma curva vetorial
num ponto
pode ser escrita como
onde
é o vetor tangente (derivada da curva) avaliado em
e
é o parâmetro da reta (distância algebrica ao longo da direção tangente). Outra forma equivalente é usar o próprio parâmetro da curva e escrever
. Vou usar a forma com parâmetro
porque é clara e evita confundir com o parâmetro original
.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente. Relembre (aula rápida de derivadas com regra da cadeia):
-
(derivada de é vezes ). -
. -
.
Portanto
Passo 4
Agora avalio
e
em
.
Primeiro as funções trigonométricas necessárias:
-
. Assim e . -
. Assim e . -
. Assim e .
Usando esses valores:
E
Passo 5
Construir a parametrização da reta tangente usando
.
Substituindo os vetores que encontramos:
Podemos escrever as componentes explicitamente:
(Se preferir a forma usando o próprio parâmetro
, basta tomar
e obter
o que é equivalente.)