Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
\mathbf{r}(t)=\langle\cos 2 t, \operatorname{sen} 3 t, \operatorname{sen} 4 t\rangle, \quad t=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede: “encontre uma parametrização da reta tangente” à curva vetorial dada no ponto t=\dfrac{\pi}{4}.
Informações fornecidas:
  • A curva vetorial é \mathbf{r}(t)=\langle\cos 2t,\;\operatorname{sen} 3t,\;\operatorname{sen} 4t\rangle.
  • O ponto de tangência corresponde a t_0=\dfrac{\pi}{4}.
O que precisamos devolver: uma parametrização da reta tangente em torno desse ponto (ou seja, uma função vetorial que descreve a reta que toca a curva em t_0).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): a reta tangente a uma curva vetorial \mathbf{r}(t) num ponto t_0 pode ser escrita como
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_0)+s\,\mathbf{r}'(t_0),
onde \mathbf{r}'(t_0) é o vetor tangente (derivada da curva) avaliado em t_0 e s é o parâmetro da reta (distância algebrica ao longo da direção tangente). Outra forma equivalente é usar o próprio parâmetro da curva e escrever \mathbf{r}(t_0)+(t-t_0)\mathbf{r}'(t_0). Vou usar a forma com parâmetro s porque é clara e evita confundir com o parâmetro original t.

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente. Relembre (aula rápida de derivadas com regra da cadeia):
  • \dfrac{d}{dt}\cos(2t) = -\sin(2t)\cdot 2 (derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u').
  • \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(3t) = \cos(3t)\cdot 3.
  • \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(4t) = \cos(4t)\cdot 4.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big\langle -2\sin(2t),\;3\cos(3t),\;4\cos(4t)\big\rangle.

Passo 4

Agora avalio \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) em t_0=\dfrac{\pi}{4}.
Primeiro as funções trigonométricas necessárias:
  • 2t_0 = 2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. Assim \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • 3t_0 = 3\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}. Assim \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • 4t_0 = 4\cdot\dfrac{\pi}{4}=\pi. Assim \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1.
Usando esses valores:
\mathbf{r}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\big\langle \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right),\;\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right),\;\operatorname{sen}(\pi)\big\rangle =\big\langle 0,\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;0\big\rangle.
E
\mathbf{r}'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\big\langle -2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right),\;3\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right),\;4\cos(\pi)\big\rangle =\big\langle -2,\;3\!\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\;4(-1)\big\rangle =\big\langle -2,\;-\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\;-4\big\rangle.

Passo 5

Construir a parametrização da reta tangente usando \mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_0)+s\,\mathbf{r}'(t_0).
Substituindo os vetores que encontramos:
\mathbf{L}(s)=\big\langle 0,\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;0\big\rangle +s\big\langle -2,\;-\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\;-4\big\rangle.
Podemos escrever as componentes explicitamente:
\mathbf{L}(s)=\Big\langle -2s,\;\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}s,\;-4s\Big\rangle.
(Se preferir a forma usando o próprio parâmetro t, basta tomar s=t-\tfrac{\pi}{4} e obter
\mathbf{L}(t)=\big\langle -2\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right),\;\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right),\;-4\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right)\big\rangle,
o que é equivalente.)

Resposta

\displaystyle \mathbf{L}(s)=\big\langle 0,\;\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;0\big\rangle+s\big\langle -2,\;-\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\;-4\big\rangle

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