Seja
. Use o Exemplo 4 para calcular
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial
tem coordenadas , e . - A operação pedida é a derivada em relação a
do produto vetorial entre e sua derivada .
O objetivo é obter explicitamente esse vetor derivado em função de.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar
e
diferenciando componente a componente. Regra usada: derivada de cada componente separadamente.
Derivando
:
Derivando
para obter
:
Passo 3
A regra do derivar produto vetorial é análoga à regra do produto escalar: para vetores dependentes de
,
Aplicando com
e
temos
Passo 4
Observação útil: para qualquer vetor
vale
(o produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor zero, porque os vetores são paralelos e o seno do ângulo entre eles é zero). Assim
e portanto
Isso simplifica muito o cálculo: agora basta calcular
.
Passo 5
Calculemos
por fórmula do determinante (regra de Sarrus / expansão por cofatores). Escrevendo
temos
Expandindo por cofatores:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o vetor resultante é