Seja \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, t^{3}, e^{t}\right\rangle. Use o Exemplo 4 para calcular \frac{d}{d t}\left(\mathbf{r} \times \mathbf{r}^{\prime}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2},\,t^{3},\,e^{t}\right\rangle
e pede para calcular
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}'(t)\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial \mathbf{r}(t) tem coordenadas t^{2}, t^{3} e e^{t}.
  • A operação pedida é a derivada em relação a t do produto vetorial entre \mathbf{r}(t) e sua derivada \mathbf{r}'(t).
    O objetivo é obter explicitamente esse vetor derivado em função de t.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t) diferenciando componente a componente. Regra usada: derivada de cada componente separadamente.
Derivando \mathbf{r}(t)=\langle t^{2},\,t^{3},\,e^{t}\rangle:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}t^{2},\\ \frac{d}{dt}t^{3},\\ \frac{d}{dt}e^{t}\right\rangle =\left\langle 2t,\\\ 3t^{2},\\ e^{t}\right\rangle.
Derivando \mathbf{r}'(t) para obter \mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}''(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(2t),\\ \frac{d}{dt}(3t^{2}),\\ \frac{d}{dt}e^{t}\right\rangle =\left\langle 2,\\\ 6t,\\ e^{t}\right\rangle.

Passo 3

A regra do derivar produto vetorial é análoga à regra do produto escalar: para vetores dependentes de t,
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}(t)\bigr)=\mathbf{u}'(t)\times\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}'(t).
Aplicando com \mathbf{u}=\mathbf{r} e \mathbf{v}=\mathbf{r}' temos
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{r}'\bigr)=\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'+\mathbf{r}\times\mathbf{r}''.

Passo 4

Observação útil: para qualquer vetor \mathbf{a} vale \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0} (o produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor zero, porque os vetores são paralelos e o seno do ângulo entre eles é zero). Assim
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'=\mathbf{0},
e portanto
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}\times\mathbf{r}'\bigr)=\mathbf{r}\times\mathbf{r}''.
Isso simplifica muito o cálculo: agora basta calcular \mathbf{r}\times\mathbf{r}''.

Passo 5

Calculemos \mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t) por fórmula do determinante (regra de Sarrus / expansão por cofatores). Escrevendo
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2},\,t^{3},\,e^{t}\rangle,\qquad \mathbf{r}''(t)=\langle 2,\,6t,\,e^{t}\rangle,
temos
\mathbf{r}\times\mathbf{r}''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ t^{2} & t^{3} & e^{t} \\\\ 2 & 6t & e^{t} \end{vmatrix}.
Expandindo por cofatores:
\mathbf{r}\times\mathbf{r}''= \mathbf{i}\bigl(t^{3}e^{t}-e^{t}\cdot 6t\bigr) -\mathbf{j}\bigl(t^{2}e^{t}-e^{t}\cdot 2\bigr) +\mathbf{k}\bigl(t^{2}\cdot 6t - t^{3}\cdot 2\bigr).
Simplificando cada componente:
  • Componente \mathbf{i}:
t^{3}e^{t}-6t e^{t}=e^{t}\bigl(t^{3}-6t\bigr).
  • Componente \mathbf{j}:
-\bigl(t^{2}e^{t}-2e^{t}\bigr)=-e^{t}\bigl(t^{2}-2\bigr)=e^{t}\bigl(2-t^{2}\bigr).
  • Componente \mathbf{k}:
6t^{3}-2t^{3}=4t^{3}.
Portanto o vetor resultante é
\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}''(t)=\left\langle e^{t}\bigl(t^{3}-6t\bigr),\;e^{t}\bigl(2-t^{2}\bigr),\;4t^{3}\right\rangle.

Resposta

\left\langle e^{t}\bigl(t^{3}-6t\bigr),\;e^{t}\bigl(2-t^{2}\bigr),\;4t^{3}\right\rangle

Exercícios relacionados