Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
\mathbf{r}(s)=\ln s \mathbf{i}+s^{-1} \mathbf{j}+9 s \mathbf{k}, \quad s=1

Passo 1

O enunciado dá a curva no espaço
\mathbf{r}(s)=\ln s\,\mathbf{i}+s^{-1}\,\mathbf{j}+9s\,\mathbf{k},
e pede uma parametrização da reta tangente no ponto correspondente a s=1.
Informações relevantes que já temos:
  • A curva está parametrizada por s e existe somente para s>0 (porque \ln s exige s>0).
  • O ponto de interesse é o ponto da curva quando s=1, isto é \mathbf{r}(1).
  • Para achar a reta tangente em um ponto de uma curva parametrizada, é necessário calcular o vetor derivada \mathbf{r}'(s) e avaliá-lo em s=1; a reta tangente passa por \mathbf{r}(1) e tem direção dada por \mathbf{r}'(1).

Passo 2

Lembra das regras básicas de derivação que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  • A derivada de \ln s é \dfrac{1}{s}. Ou seja, \dfrac{d}{ds}(\ln s)=\dfrac{1}{s}.
  • A derivada da potência s^{n} é n s^{n-1}. Aplicando com n=-1: \dfrac{d}{ds}(s^{-1})=-1\cdot s^{-2}=-s^{-2}.
  • A derivada de uma função linear a s é a constante a. Assim, \dfrac{d}{ds}(9s)=9.
Essas regras são suficientes para derivarmos cada componente de \mathbf{r}(s).

Passo 3

Agora derivamos a função vetor componente a componente:
\mathbf{r}'(s)=\frac{d}{ds}\big(\ln s\big)\,\mathbf{i}+\frac{d}{ds}\big(s^{-1}\big)\,\mathbf{j}+\frac{d}{ds}\big(9s\big)\,\mathbf{k}.
Usando as regras do passo anterior,
\mathbf{r}'(s)=\frac{1}{s}\,\mathbf{i}-s^{-2}\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliamo-nos em s=1. Primeiro o ponto na curva:
\mathbf{r}(1)=\ln 1\,\mathbf{i}+1^{-1}\,\mathbf{j}+9\cdot1\,\mathbf{k}.
Como \ln 1=0 e 1^{-1}=1, temos
\mathbf{r}(1)=0\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}=(0,1,9).

Passo 5

Agora a derivada no ponto s=1:
\mathbf{r}'(1)=\frac{1}{1}\,\mathbf{i}-1^{-2}\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}=1\,\mathbf{i}-1\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}=(1,-1,9).
Esse vetor (1,-1,9) é a direção da reta tangente em \mathbf{r}(1).

Passo 6

A equação vetorial da reta tangente com parâmetro t\in\mathbb{R} (escolhendo t=0 no ponto de tangência) é
\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}(1)+t\,\mathbf{r}'(1).
Substituindo os valores encontrados:
\mathbf{R}(t)=(0,1,9)+t(1,-1,9).
Em componentes isso é
\begin{cases} x(t)=0+t=t,\\[4pt] y(t)=1-t,\\[4pt] z(t)=9+9t. \end{cases}
Ou, na forma simétrica,
\frac{x-0}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-9}{9}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{R}(t)=(0,1,9)+t(1,-1,9),\\ t\in\mathbb{R}

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