Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a curva no espaço
e pede uma parametrização da reta tangente no ponto correspondente a
.
Informações relevantes que já temos:
- A curva está parametrizada por
e existe somente para (porque exige ). - O ponto de interesse é o ponto da curva quando
, isto é . - Para achar a reta tangente em um ponto de uma curva parametrizada, é necessário calcular o vetor derivada
e avaliá-lo em ; a reta tangente passa por e tem direção dada por .
Passo 2
Lembra das regras básicas de derivação que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
- A derivada de
é . Ou seja, . - A derivada da potência
é . Aplicando com : . - A derivada de uma função linear
é a constante . Assim, .
Essas regras são suficientes para derivarmos cada componente de
.
Passo 3
Agora derivamos a função vetor componente a componente:
Usando as regras do passo anterior,
Passo 4
Avaliamo-nos em
. Primeiro o ponto na curva:
Como
e
, temos
Passo 5
Agora a derivada no ponto
:
Esse vetor
é a direção da reta tangente em
.
Passo 6
A equação vetorial da reta tangente com parâmetro
(escolhendo
no ponto de tangência) é
Substituindo os valores encontrados:
Em componentes isso é
Ou, na forma simétrica,