Exibindo um contra-exemplo, mostre que, em geral,
não precisa ser igual a
.
Passo 1
O enunciado pede um contra-exemplo que mostre que, em geral,
não precisa ser igual a
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
é uma função vetorial de . - A notação
significa a norma (comprimento) do vetor . - A notação
é a derivada vetorial, e é a norma da derivada. - Precisamos apresentar um exemplo concreto de
para o qual e sejam diferentes, e mostrar as contas passo a passo.
Passo 2
Vou deduzir uma fórmula útil para
que usarei depois. Considere a função escalar
Por definição de norma e produto interno,
Agora derive
em relação a
. Usando a regra do produto para o produto interno (i.e.,
), obtém-se
Como
, aplicando a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada (assumindo
),
Explicando cada termo:
é o produto escalar entre o vetor posição e sua derivada;
é o comprimento do vetor posição. Essa fórmula é válida quando
.
Passo 3
Compare agora as duas quantidades que queremos relacionar:
- A norma da derivada é
. - A derivada da norma é
.
Não há nenhuma identidade algébrica geral que transforme
em
. Para que essas quantidades fossem iguais em um ponto
teríamos que ter
Quadrando ambos os lados e rearranjando, isso exige
o que é exatamente a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz, ou seja, exige que
seja paralelo a
. Em particular, se
for perpendicular a
então
e portanto
enquanto
pode ser não nula — aí já temos um contra-exemplo. Vou escolher um exemplo simples onde isso acontece.
Passo 4
Escolho a função vetorial plana
Esta é uma escolha clássica:
descreve um ponto que percorre a circunferência de raio
, então o vetor posição tem norma
para todo
.
Calcule a derivada:
Agora calcule a norma de
:
Como
é constante, sua derivada é
Agora calcule a norma de
:
Portanto, para esta
temos, para todo
,
logo claramente
.
Observação intuitiva: aqui
é sempre perpendicular a
(produto escalar zero), então a norma do raio não muda (derivada zero), enquanto a velocidade (norma de
) é constante e não nula.
Passo 5
Conclusão e interpretação prática: o exemplo mostra que não existe igualdade geral entre
e
. A igualdade só pode ocorrer em casos especiais, essencialmente quando
é paralelo a
(movimento radial); em movimentos puramente tangenciais (como andar numa circunferência),
pode ser constante enquanto
é não nulo.
Vai dar tudo certo na prova — lembra que derivar norma sempre dá aquela fórmula com o produto escalar
; essa é a chave pra ver quando as duas coisas divergem.
Resposta
Um contra-exemplo é
. Para esta função vale
e portanto
, enquanto
e
. Assim
.