Exibindo um contra-exemplo, mostre que, em geral, \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| não precisa ser igual a \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede um contra-exemplo que mostre que, em geral, \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| não precisa ser igual a \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • \mathbf{r}(t) é uma função vetorial de t.
  • A notação \|\mathbf{r}(t)\| significa a norma (comprimento) do vetor \mathbf{r}(t).
  • A notação \mathbf{r}^{\prime}(t) é a derivada vetorial, e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| é a norma da derivada.
  • Precisamos apresentar um exemplo concreto de \mathbf{r}(t) para o qual \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| e \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime} sejam diferentes, e mostrar as contas passo a passo.

Passo 2

Vou deduzir uma fórmula útil para \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime} que usarei depois. Considere a função escalar
f(t)=\|\mathbf{r}(t)\|^{2}.
Por definição de norma e produto interno,
f(t)=\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t).
Agora derive f(t) em relação a t. Usando a regra do produto para o produto interno (i.e., \dfrac{d}{dt}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\mathbf{a}'\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}'), obtém-se
f'(t)=2\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t).
Como \|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{f(t)}, aplicando a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada (assumindo \|\mathbf{r}(t)\|\neq0),
\|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=\frac{f'(t)}{2\|\mathbf{r}(t)\|}=\frac{\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}(t)\|}.
Explicando cada termo: \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) é o produto escalar entre o vetor posição e sua derivada; \|\mathbf{r}(t)\| é o comprimento do vetor posição. Essa fórmula é válida quando \|\mathbf{r}(t)\|\neq0.

Passo 3

Compare agora as duas quantidades que queremos relacionar:
  • A norma da derivada é \left\|\mathbf{r}'(t)\right\|=\sqrt{\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)}.
  • A derivada da norma é \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=\dfrac{\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}(t)\|}.
Não há nenhuma identidade algébrica geral que transforme \sqrt{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'} em \dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}\|}. Para que essas quantidades fossem iguais em um ponto t teríamos que ter
\sqrt{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}'}=\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}\|}.
Quadrando ambos os lados e rearranjando, isso exige
\|\mathbf{r}\|^{2}\,\|\mathbf{r}'\|^{2}=(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}')^{2},
o que é exatamente a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz, ou seja, exige que \mathbf{r}'(t) seja paralelo a \mathbf{r}(t). Em particular, se \mathbf{r}(t) for perpendicular a \mathbf{r}'(t) então \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0 e portanto \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=0 enquanto \|\mathbf{r}'(t)\| pode ser não nula — aí já temos um contra-exemplo. Vou escolher um exemplo simples onde isso acontece.

Passo 4

Escolho a função vetorial plana
\mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle.
Esta é uma escolha clássica: \mathbf{r}(t) descreve um ponto que percorre a circunferência de raio 1, então o vetor posição tem norma 1 para todo t.
Calcule a derivada:
\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangle.
Agora calcule a norma de \mathbf{r}(t):
\|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=\sqrt{1}=1.
Como \|\mathbf{r}(t)\|=1 é constante, sua derivada é
\|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=0.
Agora calcule a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=\sqrt{1}=1.
Portanto, para esta \mathbf{r}(t) temos, para todo t,
\|\mathbf{r}'(t)\|=1\qquad\text{e}\qquad \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=0,
logo claramente \|\mathbf{r}'(t)\|\neq\|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}.
Observação intuitiva: aqui \mathbf{r}'(t) é sempre perpendicular a \mathbf{r}(t) (produto escalar zero), então a norma do raio não muda (derivada zero), enquanto a velocidade (norma de \mathbf{r}') é constante e não nula.

Passo 5

Conclusão e interpretação prática: o exemplo mostra que não existe igualdade geral entre \left\|\mathbf{r}'(t)\right\| e \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}. A igualdade só pode ocorrer em casos especiais, essencialmente quando \mathbf{r}'(t) é paralelo a \mathbf{r}(t) (movimento radial); em movimentos puramente tangenciais (como andar numa circunferência), \|\mathbf{r}(t)\| pode ser constante enquanto \|\mathbf{r}'(t)\| é não nulo.
Vai dar tudo certo na prova — lembra que derivar norma sempre dá aquela fórmula com o produto escalar \dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}\|}; essa é a chave pra ver quando as duas coisas divergem.

Resposta

Um contra-exemplo é \mathbf{r}(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle. Para esta função vale \|\mathbf{r}(t)\|=1 e portanto \|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}=0, enquanto \mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangle e \|\mathbf{r}'(t)\|=1. Assim \|\mathbf{r}'(t)\|\neq\|\mathbf{r}(t)\|^{\prime}.

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