Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^3 / 2 integral0^9-4 x^2 16 x d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral integral0^3/2integral0^9-4x^216x,dy,dx. O conteúdo é integral dupla e queremos inverter a ordem de integração.

Passo 2

A região de integração R no plano (x,y) é dada por
0<= x<= tfrac32, 0<= y<= 9-4x^2
Para esboçar, desenhamos a curva y=9-4x^2, que intercepta o eixo x em x=pm3/2, e consideramos somente x>=0 e y>=0.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. Observamos que y varia de 0 até o valor máximo 9 (ponto de vértice da parábola). Para cada valor fixo de y, o x varia de 0 até a curva
9-4x^2=y Longrightarrow x=tfrac12raiz9-y

Passo 4

Portanto, a integral com ordem invertida fica
integraly=0^9integralx=0^tfrac12raiz9-y16x,dx,dy

Resposta

integral0^9integral0^tfrac12raiz9-y16x,dx,dy

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