Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral1^x^x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^1!integral1^x^x dy,dx
O conteúdo é “integração dupla” e vamos precisar esboçar a região
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;1<= y<= x^x
no plano xy antes de trocar os limites.

Passo 2

Estudamos a curva de fronteira y=x^x em [0,1]:
– Para xto0^+, x^xto1.
– A função x^x cai de 1 até o mínimo l(tfrac1er)^1/e em x=tfrac1e e depois sobe de volta a 1 em x=1.
Assim, no gráfico, a reta horizontal y=1 toca a curva apenas em x=0 e x=1, e para 0<x<1 temos x^x<1. A região D é formada por duas “folhinhas” entre a reta y=1 em cima e a curva y=x^x em baixo, uma perto de x=0 e outra perto de x=1.

Passo 3

O menor valor de y em D é o mínimo de x^x, que é
min0<= x<=1x^x=l(tfrac1er)^1/e
O maior valor de y é y=1.
Logo, ao invertemos, y correrá de
y=(1/e)^1/e até y=1 é

Passo 4

Para um dado yinl[(1/e)^1/e,,1r], a equação
x^x = y
tem duas soluções em [0,1]:
x1(y)in(0,1/e), x2(y)in(1/e,1),
com x1(y)<1/e<x2(y).
Na região D, a condição 1<= y<= x^x equivale a
xin[0,x1(y)];cup;[x2(y),1]

Passo 5

Portanto a integral original pode ser escrita como soma de dois blocos em x, integrando primeiro em x e depois em y:
integral0^1!integral1^x^x dy,dx =integraly=(1/e)^1/e^1 gl(, integralx=0^x1(y)dx ;+; integralx=x2(y)^1dx gr) dy

Resposta

boxed integral0^1!integral1^x^x dy,dx =integraly=(1/e)^1/e^1 l( integralx=0^x1(y)dx +integralx=x2(y)^1dx r)dy ,
onde x1(y)<1/e<x2(y) são as soluções de x^x=y.

Exercícios relacionados