Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
O conteúdo é “integração dupla” e vamos precisar esboçar a região
no plano antes de trocar os limites.
no plano
Passo 2
Estudamos a curva de fronteira
em
:
– Para ,
.
– A função cai de
até o mínimo
em
e depois sobe de volta a
em
.
Assim, no gráfico, a reta horizontal toca a curva apenas em
e
, e para
temos
. A região
é formada por duas “folhinhas” entre a reta
em cima e a curva
em baixo, uma perto de
e outra perto de
.
– Para
– A função
Assim, no gráfico, a reta horizontal
Passo 3
O menor valor de
em
é o mínimo de
, que é
O maior valor de
é
.
Logo, ao invertemos, correrá de
Logo, ao invertemos,
Passo 4
Para um dado
, a equação
tem duas soluções em
:
com
.
Na região , a condição
equivale a
Na região
Passo 5
Portanto a integral original pode ser escrita como soma de dois blocos em
, integrando primeiro em
e depois em
:
Resposta
onde
são as soluções de
.