Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^2 integral0^4-y^2 y d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral0^2integral0^4 - y^2y,dx,dy
e pede para esboçar a região de integração D e escrever uma integral equivalente trocando a ordem de integração. Para isso precisamos identificar D no plano xy e depois obter os limites de y em função de x.

Passo 2

A região D é descrita por
0 <= y <= 2, 0 <= x <= 4 - y^2
No plano, isso é o domínio abaixo da parábola
x = 4 - y^2
entre y=0 e y=2, limitado também pelos eixos x=0 e y=0. Ao esboçar, marca-se o ponto (4,0) e a curva que vai de (0,2) a (4,0).

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro determinamos o intervalo de x. Vê-se que sobre D a coordenada x varia desde o mínimo 0 até o máximo quando y=0, ou seja,
0 <= x <= 4

Passo 4

Em seguida, para um x fixo em [0,4], a desigualdade x <= 4 - y^2 vira
y^2 <= 4 - x Longrightarrow 0 <= y <= raiz4 - x

Passo 5

Portanto, a integral com ordem invertida fica
integral0^4integral0^raiz4 - xy,dy,dx

Resposta

integral0^4integral0^raiz4 - xy,dy,dx

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