Seja E um elipsóide que não passa pela origem (0,0,0) e
F(x, y, z)=(x(x^2+y^2+z^2)^32, y(x^2+y^2+z^2)^32, z(x^2+y^2+z^2)^32)
Mostre que o fluxo de F sobre E é zero se a origem está fora da região limitada por E e é 4 pi se a origem está dentro da região limitada por E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui fala sobre calcular o fluxo de um campo vetorial F sobre uma superfície elipsoidal E . A gente precisa mostrar que esse fluxo é zero se a origem (0,0,0) está fora da região limitada por E e 4pi se a origem está dentro dessa região.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto do campo passa através de uma superfície. Matemáticamente, o fluxo de F sobre E é dado por:
integral duplaE F cdot dS
Onde dS é um elemento de área na superfície E com direção normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaE F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, V é o volume limitado por E e nabla cdot F é a divergência de F .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F . Dado:
F(x, y, z) = (x(x^2+y^2+z^2)^32, y(x^2+y^2+z^2)^32, z(x^2+y^2+z^2)^32)
A divergência de F é:
nabla cdot F = partialpartial x(xr^3) + partialpartial y(yr^3) + partialpartial z(zr^3)
Onde r = raizx^2 + y^2 + z^2 .

Passo 5

Calculando cada termo da divergência:
partialpartial x(xr^3) = 1r^3 - 3x^2r^5
E de forma similar para os termos em y e z . Assim, a divergência total fica:
nabla cdot F = (1r^3 - 3x^2r^5) + (1r^3 - 3y^2r^5) + (1r^3 - 3z^2r^5) = 3r^3 - 3(x^2 + y^2 + z^2)r^5 = 0
Então, nabla cdot F = 0 para todo ponto onde r neq 0 .

Passo 6

Olhando para o Teorema da Divergência, já que nabla cdot F = 0 em todo ponto exceto possivelmente na origem, o fluxo integral duplaE F cdot dS depende de se a origem está ou não dentro do volume V .

Passo 7

Se a origem está fora do volume V , a divergência dentro de V é zero, então:
integral duplaE F cdot dS = integral triplaV 0 , dV = 0
Ou seja, o fluxo é zero.

Passo 8

Agora, se a origem está dentro do volume V , precisamos considerar a contribuição da divergência na origem. Na origem, F tem uma singularidade, e nesse caso, o fluxo através de qualquer superfície fechada que a contém é igual a 4pi . Então:
integral duplaE F cdot dS = 4pi

Resposta

O fluxo de F sobre E é zero se a origem está fora da região limitada por E e é igual a 4pi se a origem está dentro dessa região.

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