Seja
um elipsóide que não passa pela origem
e
Mostre que o fluxo de
sobre
é zero se a origem está fora da região limitada por
e é
se a origem está dentro da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui fala sobre calcular o fluxo de um campo vetorial
sobre uma superfície elipsoidal
. A gente precisa mostrar que esse fluxo é zero se a origem
está fora da região limitada por
e
se a origem está dentro dessa região.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto do campo passa através de uma superfície. Matemáticamente, o fluxo de
sobre
é dado por:
Onde
é um elemento de área na superfície
com direção normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que diz:
Aqui,
é o volume limitado por
e
é a divergência de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. Dado:
A divergência de
é:
Onde
.
Passo 5
Calculando cada termo da divergência:
E de forma similar para os termos em
e
. Assim, a divergência total fica:
Então,
para todo ponto onde
.
Passo 6
Olhando para o Teorema da Divergência, já que
em todo ponto exceto possivelmente na origem, o fluxo
depende de se a origem está ou não dentro do volume
.
Passo 7
Se a origem está fora do volume
, a divergência dentro de
é zero, então:
Ou seja, o fluxo é zero.
Passo 8
Agora, se a origem está dentro do volume
, precisamos considerar a contribuição da divergência na origem. Na origem,
tem uma singularidade, e nesse caso, o fluxo através de qualquer superfície fechada que a contém é igual a
. Então:
Resposta
O fluxo de
sobre
é zero se a origem está fora da região limitada por
e é igual a
se a origem está dentro dessa região.