Nos exercícios de 34 a 47 , calcular as derivadas parciais de 1^ a Ordem.
w=x^2 y+x y^2+x^2 z.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w(x,y,z)=x^2y ;+; x y^2 ;+; x^2z
O conteúdo aqui é “derivada parcial”: para cada variável, a gente trata as outras como constantes e aplica as regras usuais de derivação (regra da soma, fator constante e regra do poder).

Passo 2

Para calcular partial wpartial x, derivamos cada termo em relação a x, mantendo y e z constantes.
  • partialpartial x(x^2y)=2x,y (regra do poder com y constante)
  • partialpartial x(x,y^2)=y^2 (derivada de x é 1, e y^2 é constante)
  • partialpartial x(x^2z)=2x,z
    Somando,
partial wpartial x=2xy + y^2 + 2xz

Passo 3

Para calcular partial wpartial y, derivamos cada termo em relação a y, mantendo x e z constantes.
  • partialpartial y(x^2y)=x^2
  • partialpartial y(x y^2)=2x,y
  • partialpartial y(x^2z)=0 (não depende de y)
    Logo,
partial wpartial y=x^2 + 2xy

Passo 4

Para calcular partial wpartial z, derivamos cada termo em relação a z, mantendo x e y constantes.
  • partialpartial z(x^2y)=0
  • partialpartial z(x y^2)=0
  • partialpartial z(x^2z)=x^2
    Portanto,
partial wpartial z=x^2

Resposta

partial wpartial x=2xy + y^2 + 2xz,
partial wpartial y=x^2 + 2xy,
partial wpartial z=x^2

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