Nos exercícios de 34 a 47 , calcular as derivadas parciais de 1^ a Ordem.
f(x, y, z)=x^2+y^2z.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x^2+y^2z
O conteúdo é diferenciação parcial: ao calcular cada derivada, tratamos as outras variáveis como constantes e aplicamos a regra do quociente (ou escrevemos f=(x^2+y^2)z^-1 e usamos a regra da potência).

Passo 2

Para partial fpartial x mantemos y e z constantes. Reescrevendo
f=(x^2+y^2),z^-1,
temos
partial fpartial x =partialpartial xl(x^2+y^2r)cdot z^-1 =2xcdot z^-1
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partial fpartial x=2xz

Passo 3

Para partial fpartial y mantemos x e z constantes e, de modo análogo,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2+y^2r)cdot z^-1 =2ycdot z^-1,
assim
partial fpartial y=2yz

Passo 4

Para partial fpartial z mantemos x e y constantes. Usando
f=(x^2+y^2),z^-1,
e a regra da potência para z^-1, obtemos
partial fpartial z =(x^2+y^2)cdot(-1),z^-2 =-x^2+y^2z^2

Resposta

partial fpartial x=2xz, partial fpartial y=2yz, partial fpartial z=-x^2+y^2z^2

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