Nos exercícios de 34 a 47 , calcular as derivadas parciais de 1^ a Ordem.
w=12 ln (x^2+y^2).

Passo 1

O exercício pede as derivadas parciais de primeira ordem da função w = tfrac12 ln(x^2 + y^2). O conteúdo principal é derivada de logaritmo e aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para calcular partial w/partial x, note que podemos escrever w = tfrac12 ln(u) com u = x^2 + y^2. A derivada de tfrac12 ln(u) em relação a u é tfrac12cdottfrac1u e du/dx = 2x. Assim:
partial wpartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2x = xx^2 + y^2

Passo 3

Para partial w/partial y, o processo é análogo. Mantemos u = x^2 + y^2 e agora du/dy = 2y. Logo:
partial wpartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 cdot 2y = yx^2 + y^2

Resposta

partial wpartial x = xx^2 + y^2, partial wpartial y = yx^2 + y^2

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