Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int e^{2 x} \cos ^{2}\left(e^{2 x}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de função composta, e vamos usar substituição u-subst junto com a identidade trigonométrica para \cos^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{2x}-1.
Então
du = 2e^{2x}\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad e^{2x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int e^{2x}\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx = \int \cos^{2}(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos^{2}(u)\,du.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos^{2}(u) = \frac{1+\cos(2u)}{2},
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\frac{1}{2}\int \cos^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1+\cos(2u)}{2}\,du = \frac{1}{4}\int \bigl(1+\cos(2u)\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\frac{1}{4}\int 1\,du = \frac{u}{4}, \qquad \frac{1}{4}\int \cos(2u)\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{\sin(2u)}{2} = \frac{\sin(2u)}{8}.
Assim
\frac{1}{2}\int \cos^{2}(u)\,du = \frac{u}{4}+\frac{\sin(2u)}{8}+C.

Passo 6

Retornando à variável x, lembrando u=e^{2x}-1, obtemos
\frac{u}{4}+\frac{\sin(2u)}{8}+C = \frac{e^{2x}-1}{4} + \frac{\sin\bigl(2(e^{2x}-1)\bigr)}{8} + C.

Resposta

\int e^{2x}\cos^{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx = \frac{e^{2x}-1}{4} + \frac{\sin\bigl(2e^{2x}-2\bigr)}{8} + C.

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