Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int x \operatorname{tg}\left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \,\tan\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é o método de substituição, pois vemos x\,dx junto de uma função de x^{2}+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1,
de onde
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x\,\tan\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \int \tan(u)\,\frac12\,du = \tfrac12 \int \tan(u)\,du.

Passo 4

Lembrando que
\int \tan(u)\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C,
temos
\tfrac12 \int \tan(u)\,du = -\tfrac12\,\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+1 e chegamos a
-\tfrac12\,\ln\bigl|\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr| + C.

Resposta

-\frac12 \ln\bigl|\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr| + C.

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