Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int 2 x \operatorname{sen}^{4}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x\,\operatorname{sen}^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal envolve duas técnicas: substituição para lidar com o fator 2x\,dx e redução de potência para integrar \operatorname{sen}^{4}u.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica em integrais de compostas com x^{2}:
u = x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx.
Assim a integral original vira
\int 2x\,\operatorname{sen}^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}^{4}(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \int \operatorname{sen}^{4}u\,du usamos a fórmula de redução de potência. Primeiro escrevemos
\operatorname{sen}^{4}u = \Bigl(\tfrac{1-\cos(2u)}{2}\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2u) + \cos^{2}(2u)\bigr).
Em seguida aplicamos \cos^{2}(2u)=\tfrac{1+\cos(4u)}{2} e obtemos
\operatorname{sen}^{4}u = \tfrac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2u) + \tfrac{1+\cos(4u)}{2}\Bigr) = \tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2u) + \tfrac{1}{8}\cos(4u).
Agora integramos termo a termo:
\int \operatorname{sen}^{4}u\,du = \int\Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2u) + \tfrac{1}{8}\cos(4u)\Bigr)du = \tfrac{3}{8}u - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\operatorname{sen}(2u)}{2} + \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{\operatorname{sen}(4u)}{4} + C.
Isso simplifica para
\int \operatorname{sen}^{4}u\,du = \tfrac{3}{8}\,u - \tfrac{1}{4}\,\operatorname{sen}(2u) + \tfrac{1}{32}\,\operatorname{sen}(4u) + C.

Passo 4

Bast a voltar para x usando u=x^{2}-1. Logo a antiderivada da integral original é
\tfrac{3}{8}\,(x^{2}-1) - \tfrac{1}{4}\,\operatorname{sen}\bigl(2(x^{2}-1)\bigr) + \tfrac{1}{32}\,\operatorname{sen}\bigl(4(x^{2}-1)\bigr) + C.

Resposta

\int 2x\,\operatorname{sen}^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = \tfrac{3}{8}(x^{2}-1) - \tfrac{1}{4}\operatorname{sen}\bigl(2x^{2}-2\bigr) + \tfrac{1}{32}\operatorname{sen}\bigl(4x^{2}-4\bigr) + C.

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