Nos exercícios 1 a 35, calcular a integral indefinida.
\int \cos x \cdot \cos (\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos x \cdot \cos\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a substituição simples baseada na função composta: reconhecemos que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen} x
para transformar a parte composta \cos(\operatorname{sen} x).

Passo 3

Calculamos o diferencial de u:
du = \cos x \, dx.
Assim o produto \cos x\,dx é exatamente du.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int \cos x \cdot \cos\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,du.
Agora integramos em u:

Passo 5

A primitiva de \cos(u) é \operatorname{sen}(u), logo
\int \cos(u)\,du = \operatorname{sen}(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x, temos u=\operatorname{sen} x. Portanto a antiderivada é
\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) + C.

Resposta

\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) + C.

Exercícios relacionados