Nos Exercícios 37-40 encontre L\{f(t)\} utilizando primeiro uma propriedade trigonométrica apropriada.
f(t)=\operatorname{sen}(4 t+5)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=\sin(4t+5). Vamos usar a identidade trigonométrica de soma de ângulos e a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin(4t+5)=\sin(4t)\cos(5)+\cos(4t)\sin(5).

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{\sin(4t+5)\} =\cos(5)\,\mathcal{L}\{\sin(4t)\} +\sin(5)\,\mathcal{L}\{\cos(4t)\}.

Passo 4

Recordando as fórmulas
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
para a=4 temos
\mathcal{L}\{\sin(4t)\}=\frac{4}{s^{2}+16}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(4t)\}=\frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 5

Substituindo em \mathcal{L}\{\sin(4t+5)\},
\mathcal{L}\{\sin(4t+5)\} =\cos(5)\,\frac{4}{s^{2}+16} +\sin(5)\,\frac{s}{s^{2}+16} =\frac{4\cos(5)+s\sin(5)}{s^{2}+16}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin(4t+5)\} =\frac{s\sin(5)+4\cos(5)}{s^{2}+16}.

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