Nos exercícios de 37 a 46, calcule a derivada.
44.
dd x integral0^x^2 1raizt^2+1 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ddxintegral0^x^21raizt^2+1,dt
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo (que liga derivada de integral definida) e a Regra da Cadeia (para compor funções).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(u)=integral0^u1raizt^2+1,dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F em relação a u é
F'(u)=1raizu^2+1

Passo 3

No nosso caso, a variável de integração vai até u(x)=x^2. Pela Regra da Cadeia,
ddxFl(u(x)r) =F'l(u(x)r)cdot u'(x)
Aqui temos u(x)=x^2 e, portanto,
u'(x)=2x

Passo 4

Substituindo u(x)=x^2, F'(u)=1/raizu^2+1 e u'(x)=2x, obtemos
ddxintegral0^x^21raizt^2+1,dt =1raiz(x^2)^2+1cdot 2x =2xraizx^4+1

Resposta

2xraizx^4+1

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