Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral iintsigma rot F cdot n d S numa integral de linha e calcule.
F(x, y, z)=y i+x^2 j+z k, sigma a superficie x^2+y^2=1,0 <= z <= 1 e y >= 0, sendo n a nor-mal com componente y >= 0.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
integral duplasigmarotvec Fcdotvec n,dS
onde vec F(x,y,z)=(y,x^2,z) e sigma é a “casca” do cilindro x^2+y^2=1, 0<= z<=1, com y>=0. A normal vec n é a normal externa ao cilindro, cuja componente y é não-negativa. Vamos usar o teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície numa integral de linha em partialsigma.

Passo 2

O teorema de Stokes diz que
integral duplasigmarotvec Fcdotvec n,dS =ointpartialsigmavec Fcdot dvec r
A curva partialsigma é composta por quatro trechos fechando a metade de cilindro:
C1: semiarco superior em z=1, de (1,0,1) a (-1,0,1),
C2: semiarco inferior em z=0, de (-1,0,0) a (1,0,0),
C3: geratriz em x=-1,y=0, de z=1 a z=0,
C4: geratriz em x=1,y=0, de z=0 a z=1.
A orientação de todos os trechos obedece à regra da mão direita compatível com vec n radial.

Passo 3

Nos semiarcos C1cup C2 usamos
vec r(theta,z)=(costheta,sintheta,z), thetain[0,pi]
Em ambos dvec r=(-sintheta,costheta,0),dtheta e vec F=(sintheta,cos^2theta,z).
— Para C1 tomamos z=1, theta!:0topi, então
integralC1vec Fcdot dvec r =integral0^pil(-sin^2theta+cos^3thetar),dtheta =-pi2
— Para C2 tomamos z=0, theta!:pito0, então
integralC2vec Fcdot dvec r =integralpi^0l(-sin^2theta+cos^3thetar),dtheta =pi2
Logo C1+C2=0.

Passo 4

Nas geratrizes C3 e C4 parametricamente
vec r(t)=(x0,0,t), com t variando conforme a orientação e x0=-1 em C3, x0=1 em C4. Então
dvec r=(0,0,dt), vec F=(0,1,t)
— Em C3, t!:1to0,
integralC3vec Fcdot dvec r =integral1^0t,dt = -tfrac12
— Em C4, t!:0to1,
integralC4vec Fcdot dvec r =integral0^1t,dt = tfrac12
Logo C3+C4=0.

Passo 5

Somando todas as contribuições:
ointpartialsigmavec Fcdot dvec r =(C1+C2)+(C3+C4)=0
Pelo teorema de Stokes, é isso que vale a integral de superfície original.

Resposta

integral duplasigmarotvec Fcdotvec n,dS = 0

Exercícios relacionados