Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule.
a superficie
, sendo
a nor-mal com componente
.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular
onde
e
é a “casca” do cilindro
,
, com
. A normal
é a normal externa ao cilindro, cuja componente
é não-negativa. Vamos usar o teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície numa integral de linha em
.
Passo 2
O teorema de Stokes diz que
A curva
é composta por quatro trechos fechando a metade de cilindro:
— : semiarco superior em
, de
a
,
— : semiarco inferior em
, de
a
,
— : geratriz em
, de
a
,
— : geratriz em
, de
a
.
A orientação de todos os trechos obedece à regra da mão direita compatível com radial.
—
—
—
—
A orientação de todos os trechos obedece à regra da mão direita compatível com
Passo 3
Nos semiarcos
usamos
Em ambos
e
.
— Para tomamos
,
, então
— Para
— Para
tomamos
,
, então
Logo
.
Passo 4
Nas geratrizes
e
parametricamente
, com
variando conforme a orientação e
em
,
em
. Então
— Em
,
,
— Em
,
,
Logo
.
Passo 5
Somando todas as contribuições:
Pelo teorema de Stokes, é isso que vale a integral de superfície original.