Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^(4)-6 y^prime prime prime+12 y^prime prime-8 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 6y^primeprimeprime + 12y^primeprime - 8y'=0
Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar as raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Associamos à equação o polinômio característico
lambda^4 - 6lambda^3 + 12lambda^2 - 8lambda = 0

Passo 3

Fatoramos lambda em evidência:
lambdal(lambda^3 - 6lambda^2 + 12lambda - 8r)=0
Logo, uma raiz é lambda=0. Para o cubo restante, testamos lambda=2:
2^3 - 6cdot2^2 + 12cdot2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0,
então lambda=2 é raiz. Dividindo o polinômio lambda^3 - 6lambda^2 + 12lambda - 8 por (lambda-2) obtemos (lambda-2)^2. Assim as raízes são
lambda1 = 0(mu<iplicidade 1), lambda2 = 2(mu<iplicidade 3)

Passo 4

Para cada raiz real de multiplicidade m a solução tem termos x^k e^lambda x com k=0,1,dots,m-1. Logo, a contribuição de lambda=0 (multiplicidade 1) é constante, e a de lambda=2 (multiplicidade 3) gera e^2x,,x e^2x,,x^2 e^2x. Assim a solução geral é
y(x) = C1 + l(C2 + C3 x + C4 x^2r)e^2x,
com C1,C2,C3,C4 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + l(C2 + C3 x + C4 x^2r)e^2x

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