Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^(4)-y^prime prime prime-9 y^prime prime-11 y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y^(4) - y''' - 9y'' - 11y' - 4y = 0
O método geral consiste em: (1) montar a equação característica, (2) encontrar suas raízes, (3) identificar multiplicidades e (4) escrever a solução geral com expoenciais e, no caso de raízes múltiplas, fatores polinomiais em x.

Passo 2

Escrevemos a equação característica, trocando y^(k) por r^k:
r^4 - r^3 - 9r^2 - 11r - 4 = 0

Passo 3

Buscamos raízes racionais pela regra de racionalidade. Testando r=4:
4^4 - 4^3 - 9cdot4^2 -11cdot4 -4 =256 -64 -144 -44 -4 = 0,
logo r=4 é raiz simples.

Passo 4

Fazendo divisão polinomial por (r-4) ou sintética, obtemos o fator restante
r^3 +3r^2 +3r +1 = 0,
que reconhecemos como (r+1)^3=0. Assim, r=-1 é raiz de multiplicidade 3.

Passo 5

Como as raízes são r1=4 simples e r2=-1 de ordem 3, a solução geral é
y(x) = C1 e^4x + l(C2 + C3 x + C4 x^2r)e^-x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^4x + l(C2 + C3 x + C4 x^2r)e^-x

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