Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
Vamos usar o método do polinômio característico: substituímos
, montamos o polinômio em
, encontramos suas raízes (reais e complexas, considerando multiplicidades) e então formamos a solução geral com base nesses
.
Passo 2
Substituindo
e suas derivadas no DE, obtemos o polinômio característico
Agora precisamos fatorar esse polinômio para encontrar as raízes.
Passo 3
Testamos raízes inteiras possíveis
pelo teorema do resto. Verificamos que para
:
logo
é raiz e
é um fator.
Passo 4
Dividindo o polinômio por
(divisão sintética com
), obtemos o quártico
que fatora-se como
Assim o polinômio característico fica
Passo 5
As raízes são
Para cada raiz real de multiplicidade
temos
. Para o par complexo repetido
com
,
e multiplicidade
, as soluções reais são
Passo 6
A solução geral é a combinação linear de todas as soluções fundamentais encontradas: