Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^(5)-4 y^(4)+2 y^prime prime prime-8 y^prime prime+y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem 5 com coeficientes constantes
y^(5) - 4y^(4) + 2y''' - 8y'' + y' - 4y = 0
Vamos usar o método do polinômio característico: substituímos y=e^rx, montamos o polinômio em r, encontramos suas raízes (reais e complexas, considerando multiplicidades) e então formamos a solução geral com base nesses r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx e suas derivadas no DE, obtemos o polinômio característico
r^5 - 4r^4 + 2r^3 - 8r^2 + r - 4 = 0
Agora precisamos fatorar esse polinômio para encontrar as raízes.

Passo 3

Testamos raízes inteiras possíveis pm1,pm2,pm4 pelo teorema do resto. Verificamos que para r=4:
4^5 - 4cdot4^4 + 2cdot4^3 - 8cdot4^2 + 4 - 4 =1024 -1024 +128 -128 +4 -4 = 0,
logo r=4 é raiz e (r-4) é um fator.

Passo 4

Dividindo o polinômio por (r-4) (divisão sintética com 4), obtemos o quártico
r^4 + 2r^2 + 1,
que fatora-se como
(r^2 + 1)^2
Assim o polinômio característico fica
(r-4),(r^2+1)^2 = 0

Passo 5

As raízes são
r1 = 4 (m=1), r2,3 = pm i (m=2)
Para cada raiz real de multiplicidade 1 temos e^4x. Para o par complexo repetido alphapm ibeta com alpha=0, beta=1 e multiplicidade 2, as soluções reais são
cos x, sin x, xcos x, xsin x

Passo 6

A solução geral é a combinação linear de todas as soluções fundamentais encontradas:
y = C1e^4x + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x

Resposta

y = C1e^4x + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x

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