Nos exercícios 47. e 48., faça as substituições indicadas e resolva a equação diferencial.
(x+y) d x+(3 x+3 y-4) d y=0 ; u=x+y. (Lembre-se de que u=x+y Rightarrow d u=d x+d y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y),dx + l(3x+3y-4r),dy = 0
e pede para usar a substituição u = x+y. Aqui estamos tratando de uma equação de primeira ordem que fica mais simples se expressarmos tudo em termos de u e y.

Passo 2

Definimos
u = x + y Longrightarrow du = dx + dy
e também isolamos
x = u - y, dx = du - dy

Passo 3

Substituímos x, dx e x+y=u na equação original:
(u),(du - dy) + l(3(u-y)+3y-4r),dy = 0
Isso simplifica para
u,du - u,dy + (3u -4),dy = 0 ;Longrightarrow; u,du + (2u-4),dy = 0

Passo 4

Reescrevemos como uma equação em u e y:
u,du + 2(u-2),dy = 0 Longrightarrow dudy = -2,u-2u
Agora está pronta para separação de variáveis.

Passo 5

Separamos e integramos:
integral u,u-2,,du = -2 integral dy
Note que
uu-2 = 1 + 2u-2,
logo
integrall(1 + 2u-2r)du = u + 2ln|u-2| = -2y + C

Passo 6

Voltamos a x e y usando u=x+y:
(x+y) + 2lnl|x+y-2r| + 2y = C ;Longrightarrow; x + 3y + 2lnl|x+y-2r| = C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
boxedx + 3y + 2lnl|x+y-2r| = C

Exercícios relacionados