Nos exercícios 38 a 47, calcular as derivadas parciais de 1^3 ordem.
f(x, y, z)=x^2+y^2z.

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z)=x^2+y^2z. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais: vamos tratar cada variável como independente e derivar em relação a uma delas mantendo as outras fixas.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, consideramos y e z constantes. Temos:
partial fpartial x = partialpartial xl(x^2+y^2zr) = 1zcdot partialpartial x(x^2+y^2) = 1zcdot 2x = 2xz

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, agora tratamos x e z como constantes. Segue:
partial fpartial y = partialpartial yl(x^2+y^2zr) = 1zcdot partialpartial y(x^2+y^2) = 1zcdot 2y = 2yz

Passo 4

Para partial fpartial z, consideramos x e y constantes e reescrevemos f=(x^2+y^2)z^-1. Aplicando a regra da potência:
partial fpartial z = (x^2+y^2)cdot ddz(z^-1) = (x^2+y^2)(-1)z^-2 = -x^2+y^2z^2

Resposta

partial fpartial x=2xz, partial fpartial y=2yz, partial fpartial z=-x^2+y^2z^2.

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