Seja f a função seguinte
f: Dom(f) & R x & 4 x^3-x^2-x-22 x^2+5 x+2
  1. Achar o dominio de f.
  2. Achar uma solução da equação 4 x^3-x^2-x-2=0 (facil!!!).
  3. Fatorizar o polinomio 4 x^3-x^2-x-2.
  4. Estudar o sinal da função.
  5. Achar as assintotas verticais.
  6. Calcule lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
  7. Sabendo que o grafico de f tem assintotas inclinadas, achar essas assintotas.
  8. Esboçar o grafico de f (com todas as assintotas).

Passo 1

O exercício pede para analisar a função racional f(x)=4x^3 - x^2 - x - 22x^2 + 5x + 2. Vamos estudar domínio, raízes, fatoração, sinal, assíntotas (verticais e inclinadas), limites no infinito e finalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio de f, identificamos onde o denominador se anula. Resolvendo 2x^2 + 5x + 2 = 0 temos discriminante De, logo as raízes são
x = -5 pm 34 implies x = -2, ; x = -tfrac12
O domínio é todos os reais exceto esses valores:
Dom(f) = Rsetminus-2, -tfrac12

Passo 3

Procuramos agora uma solução fácil da equação do numerador 4x^3 - x^2 - x - 2 = 0. Testando x=1,
4cdot1^3 - 1^2 - 1 - 2 = 4 - 1 - 1 - 2 = 0,
logo x=1 é raiz. Para fatorar 4x^3 - x^2 - x - 2, dividimos por x-1 (ou usamos Ruffini): o quociente é 4x^2 + 3x + 2. Assim
4x^3 - x^2 - x - 2 = (x-1)(4x^2 + 3x + 2),onde 4x^2+3x+2 não tem raízes reais (discriminante negativo).

Passo 4

No estudo de sinal de f, usamos:
- Numerador (x-1)(4x^2+3x+2): como 4x^2+3x+2>0 sempre, o sinal do numerador é o de x-1, ou seja negativo para x<1 e positivo para x>1.
- Denominador 2x^2+5x+2: é positivo em ( -infty,-2)cup(-tfrac12,infty) e negativo em (-2,-tfrac12).
Combinando, obtemos o sinal de f:
f<0 em ( -infty,-2) e (-tfrac12,1); f>0 em (-2,-tfrac12) e (1,infty).

Passo 5

As assíntotas verticais ocorrem nos zeros do denominador (onde numerador ≠ 0), ou seja em
x = -2, x = -tfrac12

Passo 6

Para os limites no infinito, como o grau do numerador (3) é maior que do denominador (2), temos
limxto+infty f(x) = +infty, limxto-infty f(x) = -infty

Passo 7

Para achar a assíntota inclinada, dividimos o polinômio:
4x^3 - x^2 - x - 22x^2 + 5x + 2 = 2x - tfrac112 + tfrac452x + 92x^2+5x+2Como o resto sobre o denominador tende a zero, a assíntota é
y = 2x - 112

Passo 8

Para esboçar o gráfico fazemos:
- Traçar as retas verticais x=-2 e x=-tfrac12 (assíntotas verticais) e a reta y=2x-tfrac112 (inclinada).
- Marcar o ponto de zero em x=1 e o valor f(0)=-1.
- Desenhar o comportamento de f em cada intervalo, respeitando o sinal e a proximidade das assíntotas.

Resposta

  1. Dom(f)=ℝ{-2, -1/2}. 2) Uma raiz fácil: x=1. 3) 4x³−x²−x−2=(x−1)(4x²+3x+2). 4) f<0 em (−∞,−2)∪(−1/2,1) e f>0 em (−2,−1/2)∪(1,∞). 5) Assíntotas verticais: x=−2, x=−1/2. 6) limₓ→+∞ f(x)=+∞, limₓ→−∞ f(x)=−∞. 7) Assíntota inclinada: y=2x−11/2. 8) Gráfico com essas assíntotas e comportamento em cada região.

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