Seja
a função seguinte
- Achar o dominio de
.
- Achar uma solução da equação
(facil!!!).
- Fatorizar o polinomio
.
- Estudar o sinal da função.
- Achar as assintotas verticais.
- Calcule
e
.
- Sabendo que o grafico de
tem assintotas inclinadas, achar essas assintotas.
- Esboçar o grafico de
(com todas as assintotas).
Passo 1
O exercício pede para analisar a função racional
. Vamos estudar domínio, raízes, fatoração, sinal, assíntotas (verticais e inclinadas), limites no infinito e finalmente esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio de
, identificamos onde o denominador se anula. Resolvendo
temos discriminante
, logo as raízes são
O domínio é todos os reais exceto esses valores:
Passo 3
Procuramos agora uma solução fácil da equação do numerador
. Testando
,
logo
Passo 4
No estudo de sinal de
, usamos:
- Numerador : como
sempre, o sinal do numerador é o de
, ou seja negativo para
e positivo para
.
- Denominador : é positivo em
e negativo em
.
Combinando, obtemos o sinal de :
em
e
;
em
e
.
- Numerador
- Denominador
Combinando, obtemos o sinal de
Passo 5
As assíntotas verticais ocorrem nos zeros do denominador (onde numerador ≠ 0), ou seja em
Passo 6
Para os limites no infinito, como o grau do numerador (3) é maior que do denominador (2), temos
Passo 7
Para achar a assíntota inclinada, dividimos o polinômio:
Passo 8
Para esboçar o gráfico fazemos:
- Traçar as retas verticais e
(assíntotas verticais) e a reta
(inclinada).
- Marcar o ponto de zero em e o valor
.
- Desenhar o comportamento de em cada intervalo, respeitando o sinal e a proximidade das assíntotas.
- Traçar as retas verticais
- Marcar o ponto de zero em
- Desenhar o comportamento de
Resposta
- Dom(f)=ℝ{-2, -1/2}. 2) Uma raiz fácil: x=1. 3) 4x³−x²−x−2=(x−1)(4x²+3x+2). 4) f<0 em (−∞,−2)∪(−1/2,1) e f>0 em (−2,−1/2)∪(1,∞). 5) Assíntotas verticais: x=−2, x=−1/2. 6) limₓ→+∞ f(x)=+∞, limₓ→−∞ f(x)=−∞. 7) Assíntota inclinada: y=2x−11/2. 8) Gráfico com essas assíntotas e comportamento em cada região.