Resolver pelo método da transformada de Laplace.
l d^2 xd t^2+y=1 d^2 yd t^2+x=0
para x0=y0=x0^prime=y0^prime=0

Passo 1

Estamos lidando com um sistema de duas EDOs de segunda ordem:
d^2xdt^2 + y = 1, d^2ydt^2 + x = 0, com condições iniciais x(0)=y(0)=x'(0)=y'(0)=0. O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace, em particular as fórmulas de transformada de derivadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação, lembrando que, pelas condições iniciais nulas, s^2X(s)+Y(s)=1s, X(s)+s^2Y(s)=0 e . Assim obtemos o sistema algébrico:

Passo 3

Isolamos X(s) e Y(s). Da segunda equação vem X(s)=-s^2Y(s). Substituindo na primeira:
s^2(-s^2Y)+Y=1s implies -(s^4-1)Y=1s implies Y(s)=-1s(s^4-1) Em seguida X(s)=-s^2Y(s)=ss^4-1=s(s^2-1)(s^2+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais em X(s). Procuramos constantes tais que
s(s^2-1)(s^2+1)=A ss^2-1+C ss^2+1 Resolvendo, achamos A=1/2 e C=-1/2. Logo
X(s)=12ss^2-1-12ss^2+1

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace de X(s), usamos L^-1s/(s^2-1)=cosh t e L^-1s/(s^2+1)=cos t. Assim
x(t)=12cosh t-12cos t=cosh t-cos t2

Passo 6

Para Y(s)=-1/[s(s^2-1)(s^2+1)] fazemos frações parciais:
Y(s)=-l(1s-12ss^2-1-12ss^2+1r) Invertendo, com L^-11/s=1, obtemos
y(t)=-1+12(cosh t+cos t)=cosh t+cos t2-1

Resposta

x(t)=tfraccosh t-cos t2, y(t)=tfraccosh t+cos t2-1.

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