Nos exercícios 40-45, esboce uma superfície de nível típica para a função.
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar uma superfície de nível típica da função
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r)
O conteúdo é “superfícies de nível” em funções de três variáveis, em que definimos um nível k e investigamos o conjunto
(x,y,z)mid f(x,y,z)=k.

Passo 2

Para um valor fixo k, a superfície de nível satisfaz
lnl(x^2+y^2+z^2r)=k
Exponentiando ambos os lados, obtemos
x^2+y^2+z^2=e^k
Isso é a equação de uma esfera de raio raize^k centrada na origem.

Passo 3

Concluímos que, para cada constante k, a superfície de nível é uma esfera de raio raize^k. Portanto, o esboço típico consiste em um conjunto de esferas concêntricas de raios crescentes à medida que k aumenta.

Resposta

A superfície de nível típica de f é a esfera de equação
x^2+y^2+z^2=e^k,
isto é, uma esfera centrada na origem de raio raize^k.

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