Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
O que é pedido:
- determinar a declividade (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de
no ponto dado; - determinar a equação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Entendendo o que é declividade da reta tangente (uma mini-aula):
A declividade (ou coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de num ponto de abscissa
é a derivada de
naquele ponto, denotada por
. A derivada
fornece a taxa de variação instantânea de
em relação a
— geometricamente, a inclinação da reta que “toca” o gráfico em
.
A declividade (ou coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
Definição limite (conceito): a derivada é
mas em provas de cálculo é muito comum usar regras prontas (regras de derivação) que economizam trabalho.
Passo 3
Regras básicas de derivação usadas aqui (explicando cada termo):
- Regra do polinômio / potência: para
vale . Aqui é o expoente; isso vem do limite acima, mas é uma fórmula que usamos direto. - Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante:
para constante .
Aplicando termo a termo em
:
- Derivada de
: aplicar a potência com coeficiente: o expoente vem para frente e fica
- Derivada de
: é o coeficiente ,
- Derivada de
: é zero,
Somando esses resultados, obtemos a derivada da função:
Passo 4
Calcular a declividade no ponto dado avaliando
em
.
Substituindo:
Substituindo:
Fazendo a conta passo a passo:
logo
Portanto a declividade da reta tangente é
.
Passo 5
Agora construímos a equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-declive (ponto-inclinação):
onde
é a declividade e
é o ponto de tangência.
Aqui
e
. Substituindo:
Simplificando sinais:
Passando para a forma reduzida
, desenvolvendo o lado direito:
Somando as constantes:
portanto a equação final é
Resposta
Declividade:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente: