Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto especificado.
f(x)=-\frac{5}{3} x^{2}+2 x+2 ;\left(-1,-\frac{5}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde queremos a reta tangente:
f(x) = -\frac{5}{3}x^{2}+2x+2, \qquad \text{o ponto }(-1,-\tfrac{5}{3}).
O que é pedido:
  • determinar a declividade (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado;
  • determinar a equação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Entendendo o que é declividade da reta tangente (uma mini-aula):
A declividade (ou coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f num ponto de abscissa x_0 é a derivada de f naquele ponto, denotada por f'(x_0). A derivada f'(x) fornece a taxa de variação instantânea de f em relação a x — geometricamente, a inclinação da reta que “toca” o gráfico em x.
Definição limite (conceito): a derivada é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas em provas de cálculo é muito comum usar regras prontas (regras de derivação) que economizam trabalho.

Passo 3

Regras básicas de derivação usadas aqui (explicando cada termo):
  • Regra do polinômio / potência: para x^{n} vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n é o expoente; isso vem do limite acima, mas é uma fórmula que usamos direto.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}C=0 para constante C.
Aplicando termo a termo em f(x)=-\dfrac{5}{3}x^{2}+2x+2:
  • Derivada de -\dfrac{5}{3}x^{2}: aplicar a potência com coeficiente: o expoente 2 vem para frente e fica
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{5}{3}x^{2}\right) = -\tfrac{5}{3}\cdot 2x^{2-1} = -\tfrac{10}{3}x.
  • Derivada de 2x: é o coeficiente 2,
\frac{d}{dx}(2x)=2.
  • Derivada de 2: é zero,
\frac{d}{dx}(2)=0.
Somando esses resultados, obtemos a derivada da função:
f'(x) = -\tfrac{10}{3}x + 2.

Passo 4

Calcular a declividade no ponto dado avaliando f' em x=-1.
Substituindo:
f'(-1) = -\tfrac{10}{3}\cdot(-1) + 2.
Fazendo a conta passo a passo:
-\tfrac{10}{3}\cdot(-1)=\tfrac{10}{3}, \qquad 2 = \tfrac{6}{3},
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f'(-1)=\tfrac{10}{3}+\tfrac{6}{3}=\tfrac{16}{3}.
Portanto a declividade da reta tangente é \tfrac{16}{3}.

Passo 5

Agora construímos a equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-declive (ponto-inclinação):
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é a declividade e (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência.
Aqui m=\tfrac{16}{3} e (x_{0},y_{0})=(-1,-\tfrac{5}{3}). Substituindo:
y - \big(-\tfrac{5}{3}\big) = \tfrac{16}{3}\big(x - (-1)\big).
Simplificando sinais:
y + \tfrac{5}{3} = \tfrac{16}{3}(x+1).
Passando para a forma reduzida y=mx+b, desenvolvendo o lado direito:
y = \tfrac{16}{3}x + \tfrac{16}{3} - \tfrac{5}{3}.
Somando as constantes:
\tfrac{16}{3}-\tfrac{5}{3}=\tfrac{11}{3},
portanto a equação final é
y = \tfrac{16}{3}x + \tfrac{11}{3}.

Resposta

Declividade: \tfrac{16}{3}
Equação da reta tangente: y=\tfrac{16}{3}x+\tfrac{11}{3}

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