Nos exercícios 45 a 50 , determine a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e tem t=0 como ponto de referência.
r(t)=13 t^3 i+12 t^2 j ; t >= 0

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=tfrac13t^3,i+tfrac12t^2,j, t>=0
e pede a parametrização por comprimento de arco (PCA) que tenha a mesma orientação e use t=0 como ponto de referência. Para isso, vamos (1) calcular a velocidade e o comprimento de arco até um parâmetro t, (2) inverter essa relação para obter t em função de s e (3) escrever r em função de s.

Passo 2

Calculamos a derivada
r'(t)=l(t^2,,tr)
e seu módulo (velocidade)
|r'(t)|=raizt^4+t^2=traizt^2+1,

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t|r'(u)|,du =integral0^turaizu^2+1,du
Fazendo w=u^2+1, dw=2u,du, obtemos
s(t) =tfrac12integralw(0)=1^w(t)=t^2+1!w^1/2,dw =tfrac12cdottfrac23l[(t^2+1)^3/2-1r] =tfrac13l((t^2+1)^3/2-1r)

Passo 4

Invertendo s(t)=tfrac13l((t^2+1)^3/2-1r), temos
(t^2+1)^3/2=3s+1 Longrightarrow t^2+1=(3s+1)^2/3 Longrightarrow t(s)=raiz(3s+1)^2/3-1,, s>=0

Passo 5

Finalmente, substituímos t=t(s) em r(t) para obter a PCA R(s):
R(s) =13l(t(s)r)^3,i +12l(t(s)r)^2,j
com
t(s)=raiz(3s+1)^2/3-1,

Resposta

R(s) =13l((3s+1)^2/3-1r)^3/2,i +12l((3s+1)^2/3-1r),j, s>=0

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