Nos exercícios 45 a 67, calcular a integral indefinida:
integral(raiz1+x^2+2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx
Aqui vamos usar a propriedade de linearidade da integral e, em seguida, conhecer a integral de raiz1+x^2 e de 2x.

Passo 2

Aplicando linearidade, escrevemos
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx =integralraiz1+x^2,dx+integral2x,dx

Passo 3

A parte mais simples é
integral2x,dx = x^2+C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Falta
integralraiz1+x^2,dx.
Usamos integração por partes, escolhendo
u=raiz1+x^2, dv=dx
Então
du=xraiz1+x^2,dx, v=x,
e
integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 -integral x^2raiz1+x^2,dx
No segundo termo, note que
x^2raiz1+x^2 =1+x^2-1raiz1+x^2 =raiz1+x^2-1raiz1+x^2,
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integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 -integral!raiz1+x^2,dx +integral1raiz1+x^2,dx
Reagrupando:
2integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 +integral1raiz1+x^2,dx
E sabemos que
integral1raiz1+x^2,dx =lnl(x+raiz1+x^2r)+C2
Portanto
integralraiz1+x^2,dx =12,xraiz1+x^2 +12,lnl(x+raiz1+x^2r) +C2

Passo 5

Juntando os resultados de integralraiz1+x^2,dx e de integral2x,dx, e fundindo as constantes C1+C2 numa única C, obtemos
integrall(raiz1+x^2+2xr),dx =12,xraiz1+x^2 +12,lnl(x+raiz1+x^2r) +x^2 +C

Resposta

boxed integrall(raiz1+x^2+2xr),dx = 12,xraiz1+x^2 +12,lnl(x+raiz1+x^2r) +x^2 +C

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