Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
r=4(1+cos theta)

Passo 1

No enunciado, temos uma curva dada em coordenadas polares r=4(1+costheta). Queremos a área limitada por essa curva. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula abaixo para uma volta completa da curva:

Passo 2

A=12integral0^2pir^2,dtheta

Passo 3

Expandindo o quadrado de r, temos:
r^2=16(1+costheta)^2=16l(1+2costheta+cos^2thetar)
Logo, a integral de área fica:
A=12integral0^2pi16l(1+2costheta+cos^2thetar)dtheta=8integral0^2pil(1+2costheta+cos^2thetar)dtheta

Passo 4

Para avaliar integral0^2pi(1+2costheta+cos^2theta)dtheta, usamos a identidade cos^2theta=(1+cos2theta)/2:
  • integral0^2pi1,dtheta=2pi
  • integral0^2pi2costheta,dtheta=0
  • integral0^2picos^2theta,dtheta=integral0^2pi1+cos2theta2dtheta=pi
    Somando, 2pi+0+pi=3pi. Então
8integral0^2pi(1+2costheta+cos^2theta)dtheta=8cdot3pi=24pi

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula de área, temos:
A=24pi

Resposta

24\pi

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