Provar que as equações seguintes tem pelo menos uma raiz real :
Passo 1
Temos a equação
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz real nesse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
por
. Sabemos que polinômios são funções contínuas em
, logo
é contínua em qualquer intervalo de
.
Passo 3
Vamos avaliar
nos pontos 1 e 2. Isso mostra uma mudança de sinal, sinalizando a existência de raiz entre eles:
Portanto,
e
.
Passo 4
Como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos
tal que
.
Resposta
A equação
possui pelo menos uma raiz real em algum
.