Provar que as equações seguintes tem pelo menos uma raiz real :
x^4+x-8=0

Passo 1

Temos a equação x^4 + x - 8 = 0. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz real nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função f:RtoR por f(x)=x^4+x-8. Sabemos que polinômios são funções contínuas em R, logo f é contínua em qualquer intervalo de R.

Passo 3

Vamos avaliar f nos pontos 1 e 2. Isso mostra uma mudança de sinal, sinalizando a existência de raiz entre eles:
f(1)=1^4+1-8=-6
f(2)=2^4+2-8=10
Portanto, f(1)=-6<0 e f(2)=10>0.

Passo 4

Como f é contínua em [1,2] e f(1) e f(2) têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos cin(1,2) tal que f(c)=0.

Resposta

A equação x^4+x-8=0 possui pelo menos uma raiz real em algum cin(1,2).

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