Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
r=4(1-sen theta)

Passo 1

A curva dada é r=4(1−sen θ), e o objetivo é calcular a área que ela limita. O conteúdo usado é área em coordenadas polares, que se resolve com a fórmula de integração de r².

Passo 2

Para ver em que intervalo de θ a curva fecha, note que r=4(1−sen θ)≥0 para todo θ, pois sen θ≤1. O único ponto onde r=0 é em θ=π/2, mas a curva completa-se ao variar θ de 0 a 2π, sem r negativo.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da área em coordenadas polares:
A=tfrac12integral0^2pil[4l(1-sinthetar)r]^2,dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando e usando identidades trigonométricas ( sin^2theta=(1-cos2theta)/2), temos:
A=8integral0^2pil(1-2sintheta+tfrac1-cos2theta2r)dtheta =8integral0^2pil(tfrac32-2sintheta-tfrac12cos2thetar)dtheta

Passo 5

Como integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2picos2theta,dtheta=0, fica:
A=8cdottfrac32cdot2pi=24pi

Resposta

24\pi

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