Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
Passo 1
A curva dada é r=4(1−sen θ), e o objetivo é calcular a área que ela limita. O conteúdo usado é área em coordenadas polares, que se resolve com a fórmula de integração de r².
Passo 2
Para ver em que intervalo de θ a curva fecha, note que r=4(1−sen θ)≥0 para todo θ, pois sen θ≤1. O único ponto onde r=0 é em θ=π/2, mas a curva completa-se ao variar θ de 0 a 2π, sem r negativo.
Passo 3
Aplicamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Passo 4
Expandindo o integrando e usando identidades trigonométricas (
), temos:
Passo 5
Como
e
, fica:
Resposta
24\pi