Um motorista percorre 90 km em uma hora (atenção, a velocidade dele não é necessariamente constante…). Provar que existe um intervalo de 20 minutos durante o qual ele percorreu exatamente 30 km .

Passo 1

O enunciado diz que um motorista percorre 90 km em 1 h, mas a velocidade não é constante. O objetivo é provar que existe um intervalo de 20 min em que ele percorreu exatamente 30 km. O conteúdo que vamos usar é a função distância contínua e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Definimos uma função distância em função do tempo (em minutos) como sendo contínua (o deslocamento não salta de valor):
f:[0,60]to[0,90], f(t)=distância percorrida em t minutos, f(0)=0, f(60)=90 â

Passo 3

Para capturar a distância percorrida em qualquer intervalo de 20 min, definimos a função
g(t)=f(t+20)-f(t),
com domínio tin[0,40]. Como f é contínua, g também é contínua.

Passo 4

Vamos avaliar g em três pontos igualmente espaçados: 0, 20 e 40. Observamos que
g(0)+g(20)+g(40)=[f(20)-f(0)]+[f(40)-f(20)]+[f(60)-f(40)] =f(60)-f(0)=90

Passo 5

Definimos agora h(t)=g(t)-30, que é contínua em [0,40]. Como
h(0)+h(20)+h(40)=(g(0)-30)+(g(20)-30)+(g(40)-30)=90-90=0,
não é possível ter h(t)>0 para todo t (pois a soma seria positiva) nem h(t)<0 para todo t (pois a soma seria negativa). Logo, há índices entre 0,20,40 onde h é positiva e onde h é negativa (ou zero).

Passo 6

Pelo Teorema do Valor Intermediário, em um intervalo onde h muda de sinal (ou parte de um valor não nulo até zero), existe t^*in[0,40] tal que
h(t^*)=0
o que implica
g(t^*)=30
ou seja,
f(t^*+20)-f(t^*)=30
Isso mostra que no intervalo de 20 min que começa em t^* minutos, o motorista percorreu exatamente 30 km.

Resposta

Existe um instante t^*in[0,40] tal que no intervalo de 20 min que vai de t^* a t^*+20 o motorista percorreu exatamente 30 km.

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