Um motorista percorre 90 km em uma hora (atenção, a velocidade dele não é necessariamente constante…). Provar que existe um intervalo de 20 minutos durante o qual ele percorreu exatamente 30 km .
Passo 1
O enunciado diz que um motorista percorre 90 km em 1 h, mas a velocidade não é constante. O objetivo é provar que existe um intervalo de 20 min em que ele percorreu exatamente 30 km. O conteúdo que vamos usar é a função distância contínua e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Definimos uma função distância em função do tempo (em minutos) como sendo contínua (o deslocamento não salta de valor):
Passo 3
Para capturar a distância percorrida em qualquer intervalo de 20 min, definimos a função
com domínio
. Como
é contínua,
também é contínua.
Passo 4
Vamos avaliar
em três pontos igualmente espaçados: 0, 20 e 40. Observamos que
Passo 5
Definimos agora
, que é contínua em
. Como
não é possível ter
para todo
(pois a soma seria positiva) nem
para todo
(pois a soma seria negativa). Logo, há índices entre
onde
é positiva e onde
é negativa (ou zero).
Passo 6
Pelo Teorema do Valor Intermediário, em um intervalo onde
muda de sinal (ou parte de um valor não nulo até zero), existe
tal que
o que implica
ou seja,
Isso mostra que no intervalo de 20 min que começa em
minutos, o motorista percorreu exatamente 30 km.
Resposta
Existe um instante
tal que no intervalo de 20 min que vai de
a
o motorista percorreu exatamente 30 km.