Seja f: R R uma função continua tal que forall x in R,(f(x))^2=1. Provar que
(forall x in R, f(x)=1) ou (forall x in R, f(x)=-1)

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma função contínua fcolonRtoR satisfazendo f(x)^2=1 para todo x é necessariamente constante, valendo sempre 1 ou sempre -1. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e a ideia de que a imagem de R (conectado) por f deve ser conectada.

Passo 2

Da condição f(x)^2=1 concluímos que para todo xinR vale f(x)=1 ou f(x)=-1. Em outras palavras, Im(f)subset-1,1.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que existam pontos a,binR tais que f(a)=1 e f(b)=-1. Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c entre a e b tal que f(c)=0. Mas isso contradiz a igualdade f(c)^2=1, que não permite f(c)=0.

Passo 4

Logo, não podem existir a e b com valores distintos de sinal. Portanto f não muda de valor em R e deve ser constante, valendo sempre 1 ou sempre -1.

Resposta

Portanto, forall xinR,,f(x)=1 ou forall xinR,,f(x)=-1.

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