Seja
uma função continua tal que
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma função contínua
satisfazendo
para todo
é necessariamente constante, valendo sempre 1 ou sempre -1. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e a ideia de que a imagem de
(conectado) por
deve ser conectada.
Passo 2
Da condição
concluímos que para todo
vale
ou
. Em outras palavras,
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que existam pontos
tais que
e
. Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
entre
e
tal que
. Mas isso contradiz a igualdade
, que não permite
.
Passo 4
Logo, não podem existir
e
com valores distintos de sinal. Portanto
não muda de valor em
e deve ser constante, valendo sempre 1 ou sempre -1.
Resposta
Portanto,
ou
.