Provar que as equações seguintes tem pelo menos uma raiz real :
raiz2 x-7=xx+4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação raiz2x-7=xx+4 tem ao menos uma solução real. Aqui vamos usar o conteúdo de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário para equações que envolvem raízes e frações.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da equação. Como há raiz2x-7, precisamos de
2x-7>=0,
isto é, Além disso, não podemos ter x>=tfrac72, mas isso ocorre em x+4=0, que já fica fora de Portanto o domínio relevante é
[\left[\tfrac72,\infty\right).]

Passo 3

Definimos a função
f(x)=raiz2x-7-xx+4,
e observamos que é contínua em [tfrac72,infty) porque soma de funções contínuas (raiz quadrada e fração) em seu domínio.

Passo 4

Agora, avaliamos em um extremo do intervalo:
fl(tfrac72r)=raiz2cdottfrac72-7-tfrac72tfrac72+4=raiz7-7-7/215/2=0-715=-715<0

Passo 5

Em seguida, escolhemos um ponto maior, por exemplo x=8, e calculamos:
f(8)=raiz2cdot8-7-88+4=raiz16-7-812=3-23=73>0

Resposta

Como fl(tfrac72r)<0 e f(8)>0, pela contínua em [tfrac72,8] e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos uma raiz real de raiz2x-7=tfracxx+4 nesse intervalo.

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