Nos Exercicios 47-56, esboce a região de integração, dem de integraçāo e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração, indicar o domínio e calcular a integral
integral0^1!integraly^1 x^2e^xy,dx,dy
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e uso de integração por partes (ou reconhecimento de derivada) para exponenciais.

Passo 2

A região de integração é
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<=1
Em palavras, é o triângulo no primeiro quadrante limitado por y=0, x=1 e pela reta x=y.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, trocamos a ordem de integração. Em R temos também
0<= x<=1, 0<= y<= x,
logo a integral vira
integral0^1!integral0^x x^2e^xy,dy,dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
integral0^x x^2e^xy,dy = x^2integral0^x e^xy,dy = x^2,gl[1xe^xygr]y=0^y=x = xl(e^x^2-1r)

Passo 5

Agora a integral restante em x:
integral0^1 xl(e^x^2-1r),dx =integral0^1 x e^x^2,dx -integral0^1 x,dx
Note que
integral0^1 x e^x^2,dx =12l[e^x^2r]0^1 =12l(e-1r), integral0^1 x,dx =12
Subtraindo,
12(e-1)-12 =e2-1

Resposta

e2-1

Exercícios relacionados