Nos Exercicios 47-56, esboce a região de integração, dem de integraçāo e calcule a integral.
integral0^2 integral0^4-x^2 14

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=4-x^2,
descrever seu domínio de integração e calcular
integral0^2integral0^4-x^214,dy,dx
O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas cartesianas e cálculo de área sob curva.

Passo 2

A curva y=4-x^2 intercepta o eixo y em (0,4) e o eixo x em (2,0). A região R é o conjunto de pontos no primeiro quadrante abaixo de y=4-x^2. O domínio de integração já está dado por
0<= x<=2, 0<= y<=4-x^2
Em um esboço, basta desenhar a parábola invertida y=4-x^2, o segmento de x=0 a x=2 no eixo y=0 e sombrear a região interna.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^4-x^214,dy =14l[yr]0^4-x^2 =14l(4-x^2r) =1-x^24

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^2l(1-x^24r),dx =l[x-x^312r]0^2 = l(2-812r)-0 =2-23 =43

Resposta

43

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