Sabendo que sen pi3=raiz32 e cos pi3=12 determine o valor do seno e do cosseno de 2 pi3, 4 pi3 e 5 pi3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar sin e cos de tfrac2pi3, tfrac4pi3 e tfrac5pi3, sabendo que
sinpi3=raiz32, cospi3=12
O conteúdo principal aqui é usar a circunferência unitária: cada ângulo tem um “ângulo de referência” (sempre pi/3 neste caso) e muda–se apenas o sinal de sin e cos conforme o quadrante.

Passo 2

Lembrete da tabela de sinais na circunferência unitária:
– Quadrante I ( 0<theta<tfracpi2): sin>0, cos>0.
– Quadrante II ( tfracpi2<theta<pi): sin>0, cos<0.
– Quadrante III ( pi<theta<tfrac3pi2): sin<0, cos<0.
– Quadrante IV ( tfrac3pi2<theta<2pi): sin<0, cos>0.
Em todos os casos o valor absoluto de sin e cos é igual ao do ângulo de referência.

Passo 3

Para theta=tfrac2pi3:
– Está no quadrante II.
– Ângulo de referência =pi-tfrac2pi3=tfracpi3.
Logo
sin2pi3=+sinpi3=raiz32, cos2pi3=-cospi3=-12

Passo 4

Para theta=tfrac4pi3:
– Está no quadrante III.
– Ângulo de referência tfrac4pi3-pi=tfracpi3.
Logo
sin4pi3=-sinpi3=-raiz32, cos4pi3=-cospi3=-12

Passo 5

Para theta=tfrac5pi3:
– Está no quadrante IV.
– Ângulo de referência 2pi-tfrac5pi3=tfracpi3.
Logo
sin5pi3=-sinpi3=-raiz32, cos5pi3=+cospi3=12

Resposta

sintfrac2pi3=tfracraiz32, costfrac2pi3=-tfrac12
sintfrac4pi3=-tfracraiz32, costfrac4pi3=-tfrac12
sintfrac5pi3=-tfracraiz32, costfrac5pi3=tfrac12

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