Nos exercícios 63 a 69, calcular a diferencial das funções dadas:
z=x \cdot e^{x+y}-y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferencial da função dada. Informações fornecidas:
A função é z = x \cdot e^{x+y} - y.
Queremos encontrar a diferencial total dz expressa em termos de dx e dy.
As variáveis independentes são x e y. A diferencial é a aproximação linear do aumento de z quando x e y sofrem pequenos aumentos dx e dy.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a diferencial total para uma função de duas variáveis. Se z = f(x,y), a diferencial total é
dz = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo; \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo. As quantidades dx e dy representam pequenos incrementos em x e y. Então o plano de ação é: calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} e substituir na fórmula acima.

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial x}.
Escrevemos z = x\cdot e^{x+y} - y. A parte que depende de x é x\cdot e^{x+y}. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para o exponencial:
  • Seja u(x,y)=x e v(x,y)=e^{x+y}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cdot e^{x+y}\big) = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Temos \frac{\partial u}{\partial x}=1. Para \frac{\partial v}{\partial x}, como v=e^{x+y}, pela regra da cadeia
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=e^{x+y}\cdot 1 = e^{x+y}.
Substituindo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cdot e^{x+y}\big)=1\cdot e^{x+y} + x\cdot e^{x+y} = (1+x)\,e^{x+y}.
A derivada parcial de -y em relação a x é 0 (porque y é tratado como constante). Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=(1+x)\,e^{x+y}.

Passo 4

Calcular \frac{\partial z}{\partial y}.
Novamente a parte x\cdot e^{x+y} depende de y somente pelo exponencial. Aplicamos a regra da cadeia (agora mantendo x fixo):
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\cdot e^{x+y}\big) = x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x+y}\big) = x\cdot e^{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1, vem
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\cdot e^{x+y}\big)=x\,e^{x+y}.
A derivada parcial de -y em relação a y é -1. Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=x\,e^{x+y}-1.

Passo 5

Agora montamos a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
dz = (1+x)\,e^{x+y}\,dx + \big(x\,e^{x+y}-1\big)\,dy.
Opcionalmente, podemos fatorar e^{x+y} para ver outra forma:
dz = e^{x+y}\big((1+x)\,dx + x\,dy\big) - dy,
mas a forma padrão e direta é a indicada acima.

Resposta

dz = (1+x)\,e^{x+y}\,dx + \big(x\,e^{x+y}-1\big)\,dy

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