Nos exercícios 63 a 69, calcular a diferencial das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferencial da função dada. Informações fornecidas:
A função é .
Queremos encontrar a diferencial total expressa em termos de
e
.
As variáveis independentes são e
. A diferencial é a aproximação linear do aumento de
quando
e
sofrem pequenos aumentos
e
.
A função é
Queremos encontrar a diferencial total
As variáveis independentes são
Passo 2
Vamos lembrar o que é a diferencial total para uma função de duas variáveis. Se
, a diferencial total é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial em relação a
mantendo
fixo. As quantidades
e
representam pequenos incrementos em
e
. Então o plano de ação é: calcular
e
e substituir na fórmula acima.
Passo 3
Calcular
.
Escrevemos . A parte que depende de
é
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para o exponencial:
Escrevemos
- Seja
e . Então
- Temos
. Para , como , pela regra da cadeia
Substituindo:
A derivada parcial de
em relação a
é
(porque
é tratado como constante). Logo
Passo 4
Calcular
.
Novamente a parte depende de
somente pelo exponencial. Aplicamos a regra da cadeia (agora mantendo
fixo):
Novamente a parte
Como
, vem
A derivada parcial de
em relação a
é
. Portanto
Passo 5
Agora montamos a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Opcionalmente, podemos fatorar
para ver outra forma:
mas a forma padrão e direta é a indicada acima.