Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(t)=\left(7 t^{2}+6 t\right)^{7}(3 t-1)^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Calcular a derivada da função
f(t)=\left(7 t^{2}+6 t\right)^{7}(3 t-1)^{4}.
  • A pergunta é: encontrar f'(t).
  • Informações relevantes: a função é produto de duas funções compostas com potências, então vamos usar as regras do produto, da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação do que cada símbolo significa):\n
  • Regra do produto: para duas funções u(t) e v(t),
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)\,v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t),
onde u'(t) e v'(t) são as derivadas de u e v em relação a t.\n
  • Regra da potência (caso simples): para g(t)=\bigl(h(t)\bigr)^n com n constante,
g'(t)=n\bigl(h(t)\bigr)^{n-1}\,h'(t).
Isto é, deriva-se a potência multiplicando por n, mantendo a base com potência diminuída em uma unidade, e multiplicando pela derivada da base h'(t). Esta é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia.\n
  • Regra da cadeia (ideia): se uma função é composição G(t)=F(H(t)), então G'(t)=F'(H(t))\cdot H'(t). No caso de potências F(x)=x^n e H(t) qualquer, isso dá a fórmula anterior.

Passo 3

Identificar subfunções para aplicar as regras de forma clara:
Defina
u(t)=\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7},\qquad v(t)=\bigl(3t-1\bigr)^{4}.
Então f(t)=u(t)\,v(t) e, pela regra do produto,
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 4

Calcular u'(t) aplicando a regra da potência + cadeia:
  • A “base” é h(t)=7t^{2}+6t e o expoente é 7. Pela regra da potência composta,
u'(t)=7\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(7t^{2}+6t\bigr).
  • Agora calcule a derivada da base:
\frac{d}{dt}\bigl(7t^{2}+6t\bigr)=14t+6.
  • Substituindo,
u'(t)=7\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(14t+6).
Opcionalmente podemos simplificar o fator numérico: 7(14t+6)=98t+42=14(7t+3). Manterei a forma que facilita fatoração depois:
u'(t)=7(14t+6)\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}.

Passo 5

Calcular v'(t) de forma análoga:
  • A base é k(t)=3t-1 e o expoente é 4. Pela regra da potência com cadeia,
v'(t)=4\bigl(3t-1\bigr)^{3}\cdot\frac{d}{dt}(3t-1).
  • Derivada da base: \dfrac{d}{dt}(3t-1)=3. Então
v'(t)=4\bigl(3t-1\bigr)^{3}\cdot 3=12\bigl(3t-1\bigr)^{3}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto substituindo u' e v':
\begin{aligned} f'(t) &= u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)\\[4pt] &= \bigl[7(14t+6)\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}\bigr]\cdot\bigl(3t-1\bigr)^{4} + \bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7}\cdot\bigl[12\bigl(3t-1\bigr)^{3}\bigr]. \end{aligned}
Escrevendo juntinho:
f'(t)=7(14t+6)\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{4}+12\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7}(3t-1)^{3}.]

Passo 7

Fatorar termo comum para simplificar (isso ajuda na prova e nos cálculos):
  • Observa que ambos os termos têm fator comum \bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3}. Fatoremos isso:
\begin{aligned} f'(t) &=\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3}\Bigl[7(14t+6)(3t-1)+12\bigl(7t^{2}+6t\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
  • Agora vamos simplificar o colchete termo a termo:\n
    Calcule 7(14t+6)(3t-1): primeiro multiplique (14t+6)(3t-1)=42t^{2}+4t-6. Então
7(14t+6)(3t-1)=7(42t^{2}+4t-6)=294t^{2}+28t-42.
Calcule 12(7t^{2}+6t)=84t^{2}+72t.\n
Somando os dois resultados:
294t^{2}+28t-42+84t^{2}+72t=378t^{2}+100t-42.
  • Podemos tirar um fator 2 comum desse polinômio: 378t^{2}+100t-42=2(189t^{2}+50t-21).\n
    Logo a forma fatorada e simplificada fica
f'(t)=2\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3}\bigl(189t^{2}+50t-21\bigr).

Passo 8

Resumo e verificação rápida (auto-checagem mental):\n
  • Passos usados: produto + cadeia + potência.
  • A fatoração comum está correta porque ao expandir o fator comum de volta recupera-se a expressão do Passo 6.
  • A forma final é compacta e adequada para prova: fatores evidenciam zeros e multiplicidades.

Resposta

f'(t)=2\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3}\bigl(189t^{2}+50t-21\bigr)

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