Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Calcular a derivada da função
- A pergunta é: encontrar
. - Informações relevantes: a função é produto de duas funções compostas com potências, então vamos usar as regras do produto, da cadeia e a regra da potência.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação do que cada símbolo significa):\n
- Regra do produto: para duas funções
e ,
onde
e
são as derivadas de
e
em relação a
.\n
- Regra da potência (caso simples): para
com constante,
Isto é, deriva-se a potência multiplicando por
, mantendo a base com potência diminuída em uma unidade, e multiplicando pela derivada da base
. Esta é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia.\n
- Regra da cadeia (ideia): se uma função é composição
, então . No caso de potências e qualquer, isso dá a fórmula anterior.
Passo 3
Identificar subfunções para aplicar as regras de forma clara:
Defina
Defina
Então
e, pela regra do produto,
Passo 4
Calcular
aplicando a regra da potência + cadeia:
- A “base” é
e o expoente é . Pela regra da potência composta,
- Agora calcule a derivada da base:
- Substituindo,
Opcionalmente podemos simplificar o fator numérico:
. Manterei a forma que facilita fatoração depois:
Passo 5
Calcular
de forma análoga:
- A base é
e o expoente é . Pela regra da potência com cadeia,
- Derivada da base:
. Então
Passo 6
Aplicar a regra do produto substituindo
e
:
Escrevendo juntinho:
Passo 7
Fatorar termo comum para simplificar (isso ajuda na prova e nos cálculos):
- Observa que ambos os termos têm fator comum
. Fatoremos isso:
- Agora vamos simplificar o colchete termo a termo:\n
Calcule: primeiro multiplique . Então
Calcule
.\n
Somando os dois resultados:
Somando os dois resultados:
- Podemos tirar um fator
comum desse polinômio: .\n
Logo a forma fatorada e simplificada fica
Passo 8
Resumo e verificação rápida (auto-checagem mental):\n
- Passos usados: produto + cadeia + potência.
- A fatoração comum está correta porque ao expandir o fator comum de volta recupera-se a expressão do Passo 6.
- A forma final é compacta e adequada para prova: fatores evidenciam zeros e multiplicidades.