Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\frac{1}{a}\left(b x^{2}+c\right)-\ln x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{a}\bigl(bx^{2}+c\bigr)-\ln x
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • a, b e c são constantes (assumir a\neq0 porque aparece em divisor).
  • A função contém \ln x, portanto o domínio natural de f é x>0.
  • Objetivo: obter uma expressão explícita para f'(x) em termos de x e das constantes a,b,c.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicações simples):
  • Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\pm v(x)\bigr)=u'(x)\pm v'(x).
Isto significa que podemos diferenciar cada termo separadamente.
  • Regra do fator constante: se k é constante então
\frac{d}{dx}\bigl(k\cdot g(x)\bigr)=k\cdot g'(x).
Ou seja, o fator constante sai da derivada.
  • Regra da potência (caso mais usado aqui): para n constante,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo: \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Derivada de constante: se K é constante então \dfrac{d}{dx}K=0.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Isto basta para diferenciar \ln x.

Passo 3

Primeiro simplificamos a expressão distribuindo \dfrac{1}{a}:
f(x)=\frac{b}{a}\,x^{2}+\frac{c}{a}-\ln x.
Agora a função está escrita como soma de três termos: \dfrac{b}{a}x^{2}, \dfrac{c}{a} (constante) e -\ln x.

Passo 4

Vamos derivar termo a termo, aplicando as regras do Passo 2:
  • Para o primeiro termo \dfrac{b}{a}x^{2}: o fator \dfrac{b}{a} é constante, e \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Assim
\frac{d}{dx}\left(\frac{b}{a}x^{2}\right)=\frac{b}{a}\cdot 2x=\frac{2bx}{a}.
  • Para o segundo termo \dfrac{c}{a}: é constante, logo
\frac{d}{dx}\left(\frac{c}{a}\right)=0.
  • Para o terceiro termo -\ln x: usando \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} e o sinal negativo,
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln x\bigr)=-\frac{1}{x}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
f'(x)=\frac{2bx}{a}+0-\frac{1}{x}=\frac{2bx}{a}-\frac{1}{x}.
Se desejar, podemos colocar em um único quociente (simplificação algébrica):
f'(x)=\frac{2bx}{a}-\frac{1}{x}=\frac{2b x^{2}-a}{a x}.

Passo 6

Condições finais: a expressão para f'(x) é válida para x>0 e a\neq0. Vai bem — essa é a forma que você pode escrever na prova.

Resposta

f'(x)=\frac{2bx}{a}-\frac{1}{x}=\frac{2b x^{2}-a}{a x}

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