Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
-
, e são constantes (assumir porque aparece em divisor). - A função contém
, portanto o domínio natural de é . - Objetivo: obter uma expressão explícita para
em termos de e das constantes .
Passo 2
Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicações simples):
- Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
Isto significa que podemos diferenciar cada termo separadamente.
- Regra do fator constante: se
é constante então
Ou seja, o fator constante sai da derivada.
- Regra da potência (caso mais usado aqui): para
constante,
Exemplo:
.
- Derivada de constante: se
é constante então . - Derivada do logaritmo natural: para
,
Isto basta para diferenciar
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a expressão distribuindo
:
Agora a função está escrita como soma de três termos:
,
(constante) e
.
Passo 4
Vamos derivar termo a termo, aplicando as regras do Passo 2:
- Para o primeiro termo
: o fator é constante, e . Assim
- Para o segundo termo
: é constante, logo
- Para o terceiro termo
: usando e o sinal negativo,
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
Se desejar, podemos colocar em um único quociente (simplificação algébrica):
Passo 6
Condições finais: a expressão para
é válida para
e
. Vai bem — essa é a forma que você pode escrever na prova.