Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(t)=\operatorname{arccos} (\operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\operatorname{arccos}(\operatorname{sen} t)
e pede para calcular a derivada f'(t). Informações relevantes fornecidas:
  • A função interna é u(t)=\operatorname{sen} t (está definida para todo t).
  • A função externa é g(u)=\operatorname{arccos} u, definida para u\in[-1,1]. Como \operatorname{sen} t\in[-1,1] para todo t, a composição está bem definida para todo t.
  • O que quero: uma expressão para f'(t) válida nos pontos onde a derivada existe, e identificar pontos onde a derivada não existe.

Passo 2

Lembrete das fórmulas e regra que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Derivada da função seno: para a variável t,
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} t\big)=\cos t.
Isto vem da definição clássica da derivada de \operatorname{sen} t; aqui \cos t é uma função que dá a taxa de variação instantânea de \operatorname{sen} t.
  • Derivada da função arco-cosseno: para a variável u com |u|<1,
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos} u\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Isto é uma fórmula padrão: a derivada de \operatorname{arccos} u é negativa porque \operatorname{arccos} é decrescente no intervalo [-1,1], e o denominador \sqrt{1-u^{2}} aparece pela relação trigonométrica entre seno e cosseno.
  • Regra da cadeia (para composições): se f(t)=g(u(t)) com g diferenciável em u(t) e u diferenciável em t, então
f'(t)=g'\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na interna, e multiplicamos pela derivada da interna — é a forma sistemática de tratar composições.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: tome u(t)=\operatorname{sen} t e g(u)=\operatorname{arccos} u. Então, usando as fórmulas do passo anterior,
f'(t)=g'\big(u(t)\big)\cdot u'(t) = \left(-\frac{1}{\sqrt{1-u(t)^{2}}}\right)\cdot\cos t.
Substituindo u(t)=\operatorname{sen} t obtemos a expressão direta:
f'(t)=-\frac{\cos t}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2} t}}.

Passo 4

Simplificação trigonométrica: usamos a identidade pitagórica
1-\operatorname{sen}^{2} t=\cos^{2} t.
Esta identidade vale para todo t. Substituindo na expressão do passo anterior temos
f'(t)=-\frac{\cos t}{\sqrt{\cos^{2} t}}.
Por definição da raiz quadrada principal, \sqrt{\cos^{2} t}=|\cos t| (valor absoluto), logo
f'(t)=-\frac{\cos t}{|\cos t|}.

Passo 5

Interpretação do quociente com valor absoluto: o quociente \dfrac{\cos t}{|\cos t|}\) é a função sinal de \(\cos t\), isto é, \[\frac{\cos t}{|\cos t|}=\begin{cases} 1, & \text{se }\cos t>0,\\[4pt] -1, & \text{se }\cos t<0. \end{cases}
Multiplicando por -1\] (porque \[f'(t)=-\dfrac{\cos t}{|\cos t|}) obtemos a forma peça-por-peça da derivada:
f'(t)=\begin{cases} -1, & \text{se }\cos t>0,\\[4pt] 1, & \text{se }\cos t<0. \end{cases}
Note que quando \cos t=0\] o denominador original \(\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2} t} é zero, então a fórmula anterior não vale — nesses pontos a derivada não existe. Os pontos onde \cos t=0 são
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.]

Passo 6

Verificação rápida com exemplos numéricos (para fixar a intuição):
  • Em t=0 temos \cos 0=1>0, logo f'(0)=-1. Faz sentido: arccos(sen t) decresce ali.
  • Em t=\pi temos \cos\pi=-1<0, logo f'(\pi)=1. A função sobe ali.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2} e t=\tfrac{3\pi}{2} temos \cos t=0 e a derivada não existe; os limites laterais da derivada são diferentes ( -1 à esquerda de \tfrac{\pi}{2} e 1 à direita), então há uma descontinuidade na derivada.

Resposta

f'(t)=-\frac{\cos t}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}t}}=-\frac{\cos t}{|\cos t|}
f'(t)=\begin{cases} -1, & \text{se }\cos t>0,\\[4pt] 1, & \text{se }\cos t<0, \end{cases}
\text{não existe se }\cos t=0,\\ \text{isto é }t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.ãé]

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