Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A função interna é
(está definida para todo ). - A função externa é
, definida para . Como para todo , a composição está bem definida para todo . - O que quero: uma expressão para
válida nos pontos onde a derivada existe, e identificar pontos onde a derivada não existe.
Passo 2
Lembrete das fórmulas e regra que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Derivada da função seno: para a variável
,
Isto vem da definição clássica da derivada de
; aqui
é uma função que dá a taxa de variação instantânea de
.
- Derivada da função arco-cosseno: para a variável
com ,
Isto é uma fórmula padrão: a derivada de
é negativa porque
é decrescente no intervalo
, e o denominador
aparece pela relação trigonométrica entre seno e cosseno.
- Regra da cadeia (para composições): se
com diferenciável em e diferenciável em , então
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na interna, e multiplicamos pela derivada da interna — é a forma sistemática de tratar composições.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: tome
e
. Então, usando as fórmulas do passo anterior,
Substituindo
obtemos a expressão direta:
Passo 4
Simplificação trigonométrica: usamos a identidade pitagórica
Esta identidade vale para todo
. Substituindo na expressão do passo anterior temos
Por definição da raiz quadrada principal,
(valor absoluto), logo
Passo 5
Interpretação do quociente com valor absoluto: o quociente
Multiplicando por
) obtemos a forma peça-por-peça da derivada:
Note que quando
é zero, então a fórmula anterior não vale — nesses pontos a derivada não existe. Os pontos onde
são
Passo 6
Verificação rápida com exemplos numéricos (para fixar a intuição):
- Em
temos , logo . Faz sentido: arccos(sen t) decresce ali. - Em
temos , logo . A função sobe ali. - Em
e temos e a derivada não existe; os limites laterais da derivada são diferentes ( à esquerda de e à direita), então há uma descontinuidade na derivada.