Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\frac{1}{a}\left(b x^{2}+a x\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{a}\left(b x^{2}+a x\right)^{3}.
Informações dadas e observações importantes:
  • a e b são constantes (não dependem de x).
  • Como aparece \frac{1}{a}, devemos ter a\neq 0 para que f esteja bem definida.
  • Objetivo claro: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x, a e b.

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função para escolher a regra de derivação adequada (a explicação aqui é para você lembrar na prova): f é uma constante \frac{1}{a} multiplicando uma função composta \big(bx^2+ax\big)^3. Para funções compostas da forma \big(u(x)\big)^n usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia (em palavras simples) diz: derive a potência como se u fosse a variável, e multiplique pela derivada de u(x).
A forma geral da regra da cadeia (fórmula) é:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^n = n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada de u(x).
Também usaremos que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dx}\big(C\cdot g(x)\big)=C\cdot g'(x),
onde C é constante.

Passo 3

Definimos a função interior (o “u”) para aplicar a regra da cadeia:
u(x)=b x^{2}+a x.
Isso deixa a função escrita como
f(x)=\frac{1}{a}\big(u(x)\big)^{3}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Para isso usamos duas regras básicas:
  • Regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra da constante multiplicativa: \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
Aplicando em cada termo de u(x):
\frac{d}{dx}\big(b x^{2}\big)=b\cdot \frac{d}{dx}x^{2}=b\cdot(2x)=2bx,
\frac{d}{dx}\big(a x\big)=a\cdot \frac{d}{dx}x=a\cdot 1 = a.
Somando os resultados, obtemos
u'(x)=2bx+a.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia à função f(x)=\frac{1}{a}\big(u(x)\big)^{3}. Primeiro derivamos o núcleo \big(u(x)\big)^{3} usando a fórmula da cadeia, obtendo 3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x). Em seguida multiplicamos pelo fator constante \frac{1}{a}. Logo:
f'(x)=\frac{1}{a}\cdot 3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).

Passo 6

Substituímos u(x)=b x^{2}+a x e u'(x)=2bx+a na expressão do passo anterior:
f'(x)=\frac{3}{a}\big(b x^{2}+a x\big)^{2}\big(2bx+a\big).
Podemos deixar assim (forma compacta e correta). Se quiser uma forma factorizada, note que b x^{2}+a x = x(bx+a), então
f'(x)=\frac{3}{a}\,x^{2}\big(bx+a\big)^{2}\big(2bx+a\big),
que é equivalente à anterior.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{a}\big(b x^{2}+a x\big)^{2}\big(2bx+a\big)

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