Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
-
e são constantes (não dependem de ). - Como aparece
, devemos ter para que esteja bem definida. - Objetivo claro: encontrar
, a derivada de em termos de , e .
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função para escolher a regra de derivação adequada (a explicação aqui é para você lembrar na prova):
é uma constante
multiplicando uma função composta
. Para funções compostas da forma
usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia (em palavras simples) diz: derive a potência como se
fosse a variável, e multiplique pela derivada de
.
A forma geral da regra da cadeia (fórmula) é:
onde
é a derivada de
.
Também usaremos que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
onde
é constante.
Passo 3
Definimos a função interior (o “u”) para aplicar a regra da cadeia:
Isso deixa a função escrita como
Passo 4
Agora calculamos
. Para isso usamos duas regras básicas:
- Regra do poder:
. - Regra da constante multiplicativa:
.
Aplicando em cada termo de
:
Somando os resultados, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia à função
. Primeiro derivamos o núcleo
usando a fórmula da cadeia, obtendo
. Em seguida multiplicamos pelo fator constante
. Logo:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão do passo anterior:
Podemos deixar assim (forma compacta e correta). Se quiser uma forma factorizada, note que
, então
que é equivalente à anterior.