Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\left(3 x^{2}+6 x\right)^{10}-\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(3x^{2}+6x\right)^{10}-\frac{1}{x^{2}}
e pede: calcular a derivada f'(x).\n
Informações relevantes:
\text{1) } f(x) \text{ é a diferença de duas funções: } \left(3x^{2}+6x\right)^{10} \text{ e } \frac{1}{x^{2}}.éççõ
\text{2) Precisamos derivar cada termo e depois combinar (derivada de soma/diferença).}ç

Passo 2

Revisão das regras que vamos usar (explicadas passo a passo):
\text{(A) Derivada de soma/diferença: } \frac{d}{dx}\bigl(g(x)\pm h(x)\bigr)=g'(x)\pm h'(x).ç
Isto significa: derive cada parcela separadamente e mantenha o sinal.\n
\text{(B) Regra da potência (power rule): } \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},\quad \text{para }n\in\mathbb{R}.ê
Exemplo simples: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.\n
\text{\text{(C)} Regra da cadeia (chain rule): } \frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a “função interna” e u'(x) é a derivada dessa função interna. Exemplo: se u(x)=2x+1, então \frac{d}{dx}\bigl((2x+1)^{4}\bigr)=4(2x+1)^{3}\cdot 2.\n
Observação prática: sempre identificar a função externa (a potência) e a função interna (dentro dos parênteses), derivar a externa mantendo a interna intacta elevada a uma potência menor e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Aplicando as regras ao primeiro termo \left(3x^{2}+6x\right)^{10}.
Defina a função interna
u(x)=3x^{2}+6x.
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(6x)=6x+6=6(x+1).
Agora aplique a regra da cadeia com n=10:
\frac{d}{dx}\left(u(x)^{10}\right)=10\,u(x)^{9}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x):
\frac{d}{dx}\left(3x^{2}+6x\right)^{10}=10\left(3x^{2}+6x\right)^{9}\cdot\bigl(6x+6\bigr).
Simplificando o fator numérico 10\cdot(6x+6)=60(x+1), obtemos
\frac{d}{dx}\left(3x^{2}+6x\right)^{10}=60(x+1)\left(3x^{2}+6x\right)^{9}.

Passo 4

Derivando o segundo termo -\dfrac{1}{x^{2}}.
Primeiro reescreva com potência: -\dfrac{1}{x^{2}}=-(x^{-2}).
Use a regra da potência para x^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-3}.
Como há o sinal negativo na frente, temos
\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right)=-\bigl(-2x^{-3}\bigr)=2x^{-3}.
Escrevendo em forma de fração:
2x^{-3}=\frac{2}{x^{3}}.

Passo 5

Combine as derivadas dos dois termos usando a regra da soma/diferença:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(3x^{2}+6x\right)^{10} \;-\; \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=60(x+1)\left(3x^{2}+6x\right)^{9}+\frac{2}{x^{3}}.
Dica prática para a prova: ao ver \left(\text{coisa}\right)^{n} pense: “deriva a potência (n) vezes a coisa elevada a n-1, e multiplica pela derivada da coisa.” Para frações 1/x^{m} é útil reescrever como x^{-m} e aplicar a regra da potência — evita confusão com quociente.

Resposta

f'(x)=60(x+1)\left(3x^{2}+6x\right)^{9}+\frac{2}{x^{3}}

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