Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
(uma potência cúbica de uma razão entre polinômios). O que se pede é
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos simplificar mentalmente a estrutura da função antes de derivar. Defino a função interna
de modo que
A regra que vamos usar agora é a regra da cadeia: se
, então
Explicando a regra da cadeia: quando temos uma composição
, a derivada é
. Aqui
e
, por isso
e
.
Passo 3
Agora precisamos de
. Como
é razão de dois polinômios, usamos a regra do quociente. Se
então
Aqui escolhemos
Calculamos as derivadas dos polinômios:
Passo 4
Aplicando o quociente:
Agora subtraímos:
Portanto
Passo 5
Voltando para a regra da cadeia, substituímos
e
:
Agora simplificamos multiplicando as frações: o denominador terá
. O numerador fica
.
Passo 6
Multiplicamos o
dentro do polinômio do numerador para deixar tudo mais enxuto:
Logo a expressão final simplificada é
Se você quiser, pode também fatorar um
do polinômio do numerador:
, mas ambas as formas estão corretas.