Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(t)=\left(\frac{7 t+1}{2 t^{2}+3}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(t)=\left(\frac{7t+1}{2t^{2}+3}\right)^{3}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(t) (uma potência cúbica de uma razão entre polinômios). O que se pede é f'(t), a derivada de f em função de t.

Passo 2

Vamos simplificar mentalmente a estrutura da função antes de derivar. Defino a função interna
u(t)=\frac{7t+1}{2t^{2}+3}
de modo que
f(t)=\big(u(t)\big)^{3}.
A regra que vamos usar agora é a regra da cadeia: se f(t)=\big(u(t)\big)^{3}, então
f'(t)=3\big(u(t)\big)^{2}\,u'(t).
Explicando a regra da cadeia: quando temos uma composição f(t)=h(g(t)), a derivada é f'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t). Aqui h(x)=x^{3} e g(t)=u(t), por isso h'(x)=3x^{2} e h'(g(t))=3(u(t))^{2}.

Passo 3

Agora precisamos de u'(t). Como u(t) é razão de dois polinômios, usamos a regra do quociente. Se
u(t)=\frac{p(t)}{q(t)}
então
u'(t)=\frac{p'(t)\,q(t)-p(t)\,q'(t)}{\big(q(t)\big)^{2}}.
Aqui escolhemos
p(t)=7t+1,\qquad q(t)=2t^{2}+3.
Calculamos as derivadas dos polinômios:
p'(t)=7,\qquad q'(t)=4t.

Passo 4

Aplicando o quociente:
p'(t)\,q(t)=7(2t^{2}+3)=14t^{2}+21,
p(t)\,q'(t)=(7t+1)(4t)=28t^{2}+4t.
Agora subtraímos:
p'(t)\,q(t)-p(t)\,q'(t)=(14t^{2}+21)-(28t^{2}+4t)=-14t^{2}-4t+21.
Portanto
u'(t)=\frac{-14t^{2}-4t+21}{(2t^{2}+3)^{2}}.

Passo 5

Voltando para a regra da cadeia, substituímos u(t) e u'(t):
f'(t)=3\big(u(t)\big)^{2}\,u'(t) =3\left(\frac{7t+1}{2t^{2}+3}\right)^{2}\cdot\frac{-14t^{2}-4t+21}{(2t^{2}+3)^{2}}.
Agora simplificamos multiplicando as frações: o denominador terá (2t^{2}+3)^{2}\cdot(2t^{2}+3)^{2}=(2t^{2}+3)^{4}. O numerador fica 3(7t+1)^{2}(-14t^{2}-4t+21).

Passo 6

Multiplicamos o 3 dentro do polinômio do numerador para deixar tudo mais enxuto:
3(-14t^{2}-4t+21)=-42t^{2}-12t+63.
Logo a expressão final simplificada é
f'(t)=\frac{(7t+1)^{2}\big(-42t^{2}-12t+63\big)}{(2t^{2}+3)^{4}}.
Se você quiser, pode também fatorar um -3 do polinômio do numerador: -42t^{2}-12t+63=-3(14t^{2}+4t-21), mas ambas as formas estão corretas.

Resposta

\displaystyle f'(t)=\frac{(7t+1)^{2}\big(-42t^{2}-12t+63\big)}{(2t^{2}+3)^{4}}

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