Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Informações relevantes dadas:
\text{a função }f\text{ está definida quando o argumento do }\ln\text{ é positivo,}çãáé
ou seja quando \dfrac{1+x}{1-x}>0. Observação rápida (importante para o domínio): isso ocorre para x\in(-1,1). Não faremos ainda a derivação — aqui só listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma propriedade básica do logaritmo que facilita muito a diferenciação. Regra usada:
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln(A)-\ln(B),
válida para A>0 e B>0. Aplicando à função,
f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x).
Explicando devagar: transformamos um log de quociente em diferença de logs para poder derivar termo a termo — isso evita ter que aplicar diretamente a regra do quociente dentro de um \ln.

Passo 3

Agora vamos lembrar a regra de derivação do logaritmo natural composta (cadeia). Se g(x)=\ln(u(x)), então, pela regra da cadeia,
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui cada u(x) é a “parte interna”. Vamos aplicar isso aos dois termos \ln(1+x) e \ln(1-x).
Calcule as derivadas das partes internas:
\frac{d}{dx}(1+x)=1,\qquad \frac{d}{dx}(1-x)=-1.
Portanto, derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\big[\ln(1+x)\big]=\frac{1}{1+x},
\frac{d}{dx}\big[\ln(1-x)\big]=\frac{-1}{1-x}.
Como f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x), temos
f'(x)=\frac{1}{1+x}-\left(\frac{-1}{1-x}\right).

Passo 4

Agora simplificamos a expressão obtida. Primeiro escrevemos claramente a soma:
f'(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}.
Vamos somar as frações com denominador comum (1+x)(1-x). Calculamos o numerador:
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1-x}{(1+x)(1-x)}+\frac{1+x}{(1-x)(1+x)}.
Somando os numeradores:
\frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}.
Repare que (1+x)(1-x)=1-x^2. Assim
f'(x)=\frac{2}{1-x^2}.

Passo 5

Verificação rápida de domínio: a expressão final \dfrac{2}{1-x^2} está escrita sempre que 1-x^2\neq0, ou seja x\neq\pm1. Mas como a função original só está definida em x\in(-1,1), é nesse intervalo que a derivada que encontramos vale. Bom trabalho — você transformou um log de quociente numa diferença de logs, usou a regra da cadeia e simplificou a soma de frações. Dá pra fazer isto numa prova rapidinho se você lembrar dessa estratégia!

Resposta

f'(x)=\dfrac{2}{1-x^2}

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