Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
ou seja quando
. Observação rápida (importante para o domínio): isso ocorre para
. Não faremos ainda a derivação — aqui só listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma propriedade básica do logaritmo que facilita muito a diferenciação. Regra usada:
válida para
e
. Aplicando à função,
Explicando devagar: transformamos um log de quociente em diferença de logs para poder derivar termo a termo — isso evita ter que aplicar diretamente a regra do quociente dentro de um
.
Passo 3
Agora vamos lembrar a regra de derivação do logaritmo natural composta (cadeia). Se
, então, pela regra da cadeia,
Aqui cada
é a “parte interna”. Vamos aplicar isso aos dois termos
e
.
Calcule as derivadas das partes internas:
Portanto, derivando termo a termo,
Como
, temos
Passo 4
Agora simplificamos a expressão obtida. Primeiro escrevemos claramente a soma:
Vamos somar as frações com denominador comum
. Calculamos o numerador:
Somando os numeradores:
Repare que
. Assim
Passo 5
Verificação rápida de domínio: a expressão final
está escrita sempre que
, ou seja
. Mas como a função original só está definida em
, é nesse intervalo que a derivada que encontramos vale. Bom trabalho — você transformou um log de quociente numa diferença de logs, usou a regra da cadeia e simplificou a soma de frações. Dá pra fazer isto numa prova rapidinho se você lembrar dessa estratégia!