Nos exercícios abaixo, classifique as equações diferenciais dadas quanto à linearidade e ordem. Indique o termo não linear, quando for o caso.
d^2 rd t^2=-kr^2 ; r=f(t).

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
d^2rdt^2 = -kr^2,
onde r=f(t), quanto à ordem e à linearidade. Se for não linear, devemos indicar o termo responsável pela não linearidade.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial é o grau da maior derivada que aparece. Aqui o maior derivado é
d^2rdt^2,
que é de segunda ordem. Logo, a equação é de ordem 2.

Passo 3

Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma
a2(t),d^2rdt^2 + a1(t),drdt + a0(t),r = g(t),
ou seja, os coeficientes podem depender de t mas não de r nem de derivadas de r. No nosso caso, reescrevendo:
d^2rdt^2 + kr^2 = 0,
vemos que o termo tfrackr^2 depende de r. Portanto a equação é não linear.

Passo 4

O termo que introduz a não linearidade é
-kr^2,
pois faz a equação depender de r de forma não afim.

Resposta

Ordem 2; não linear; termo não linear: -tfrackr^2.

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